Um reservatório cilíndrico de grande seção transversal, aberto para a atmosfera, contém água ( \rho=1 \mathrm{~g} / \mathrm{ml} ) até uma altura de \mathbf{1 , 0} metro em relação a um pequeno orifício localizado em sua base. Desprezando as perdas de carga por atrito e considerando o regime permanente, determine:
a) A velocidade teórica de saída da água pelo orifício utilizando a Equação de Bernoulli. Despreza dos desvios da idealidade.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a velocidade teórica de saída da água pelo orifício usando a Equação de Bernoulli.
Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • \rho = 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{ml} = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Abertura superior do reservatório à pressão atmosférica e o orifício também comunica com a atmosfera.
  • Altura da superfície livre até o orifício: h = 1,0\\ \mathrm{m}.
  • Desprezar perdas por atrito e considerar regime permanente.
  • Reservatório de grande seção transversal (portanto a velocidade da superfície livre é desprezível comparada à velocidade no orifício).

Passo 2

Apresentando a Equação de Bernoulli entre dois pontos: ponto 1 na superfície livre e ponto 2 no orifício.
A forma geral da Equação de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem atrito e em regime permanente) é
p_1 + \rho g z_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho g z_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Explicando cada termo:
  • p é a pressão estática no ponto considerado (em Pa).
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
  • z é a cota vertical do ponto (em m), tomada positiva para cima.
  • v é a velocidade do fluido no ponto (em \mathrm{m}/\mathrm{s}).
    Índice 1 refere-se à superfície livre; índice 2 refere-se ao orifício na base.
Agora aplicar as condições do problema:
  • A pressão na superfície e no orifício é a pressão atmosférica, logo p_1 = p_2 = p_{\text{atm}}. Esses termos se cancelam.
  • Escolho referência de cota tal que z_2 = 0 (orifício) e então z_1 = h.
  • Como o reservatório tem grande seção, a velocidade da superfície é desprezível: v_1 \approx 0.
Substituindo e simplificando:
p_{\text{atm}} + \rho g h + \tfrac{1}{2}\rho\cdot 0^2 = p_{\text{atm}} + \rho g\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Cancelando p_{\text{atm}} e dividindo por \rho:
g h = \tfrac{1}{2} v_2^2.
Isolando v_2:
v_2 = \sqrt{2 g h}.
Observação importante: a densidade \rho cancelou, por isso o valor da velocidade teórica não depende de \rho (desde que o fluido seja incompressível e as hipóteses valham).

Passo 3

Calcular numericamente usando g = 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 e h = 1,0\\ \mathrm{m}:
v = \sqrt{2\cdot 9{,}81 \cdot 1{,}0} = \sqrt{19{,}62}.
Fazendo a raiz:
\sqrt{19{,}62} \approx 4{,}429\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (suficiente em prova):
v \approx 4{,}43\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 4

Resumo didático rápido (para a prova):
  • Essa expressão v=\sqrt{2gh} é conhecida como teorema de Torricelli — surge diretamente de Bernoulli entre a superfície livre e o orifício quando a superfície tem velocidade desprezível.
  • Hipóteses que justificam usar essa fórmula: fluido incompressível, escoamento sem atrito (ideal), p_1=p_2 (ambos atmosféricos) e reservatório com área muito maior que a área do orifício (para desprezar v_1). Se não puder desprezar v_1, use continuidade A_1 v_1 = A_2 v_2 e mantenha v_1 na equação de Bernoulli.
  • Em situações reais haverá perdas e a velocidade prática será menor; a fórmula dá a velocidade teórica máxima.

Resposta

v \approx 4{,}43\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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