Um reservatório cilíndrico de grande seção transversal, aberto para a atmosfera, contém água (
) até uma altura de
metro em relação a um pequeno orifício localizado em sua base. Desprezando as perdas de carga por atrito e considerando o regime permanente, determine:
a) A velocidade teórica de saída da água pelo orifício utilizando a Equação de Bernoulli. Despreza dos desvios da idealidade.
a) A velocidade teórica de saída da água pelo orifício utilizando a Equação de Bernoulli. Despreza dos desvios da idealidade.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a velocidade teórica de saída da água pelo orifício usando a Equação de Bernoulli.
Dados fornecidos (pego do enunciado):
-
. - Abertura superior do reservatório à pressão atmosférica e o orifício também comunica com a atmosfera.
- Altura da superfície livre até o orifício:
. - Desprezar perdas por atrito e considerar regime permanente.
- Reservatório de grande seção transversal (portanto a velocidade da superfície livre é desprezível comparada à velocidade no orifício).
Passo 2
Apresentando a Equação de Bernoulli entre dois pontos: ponto 1 na superfície livre e ponto 2 no orifício.
A forma geral da Equação de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem atrito e em regime permanente) é
A forma geral da Equação de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem atrito e em regime permanente) é
Explicando cada termo:
-
é a pressão estática no ponto considerado (em Pa). -
é a densidade do fluido (em ). -
é a aceleração da gravidade (em ). -
é a cota vertical do ponto (em m), tomada positiva para cima. -
é a velocidade do fluido no ponto (em ).
Índice 1 refere-se à superfície livre; índice 2 refere-se ao orifício na base.
Agora aplicar as condições do problema:
- A pressão na superfície e no orifício é a pressão atmosférica, logo
. Esses termos se cancelam. - Escolho referência de cota tal que
(orifício) e então . - Como o reservatório tem grande seção, a velocidade da superfície é desprezível:
.
Substituindo e simplificando:
Cancelando
e dividindo por
:
Isolando
:
Observação importante: a densidade
cancelou, por isso o valor da velocidade teórica não depende de
(desde que o fluido seja incompressível e as hipóteses valham).
Passo 3
Calcular numericamente usando
e
:
Fazendo a raiz:
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (suficiente em prova):
Passo 4
Resumo didático rápido (para a prova):
- Essa expressão
é conhecida como teorema de Torricelli — surge diretamente de Bernoulli entre a superfície livre e o orifício quando a superfície tem velocidade desprezível. - Hipóteses que justificam usar essa fórmula: fluido incompressível, escoamento sem atrito (ideal),
(ambos atmosféricos) e reservatório com área muito maior que a área do orifício (para desprezar ). Se não puder desprezar , use continuidade e mantenha na equação de Bernoulli. - Em situações reais haverá perdas e a velocidade prática será menor; a fórmula dá a velocidade teórica máxima.