de água escoam por um tubo formado por duas seções de tubos cilíndricos de aço polido. A primeira seção tem 10 cm de diâmetro e 20 m de comprimento; a segunda tem 20 cm de diâmetro e 10 m de comprimento. Avalie a potência necessária para manter o escoamento no estado estacionário, desconsiderando efeitos de entrada e supondo temperatura uniforme.
Passo 1
O enunciado pede a potência necessária para manter o escoamento estacionário de água por um tubo composto de duas seções cilíndricas em série. Dados fornecidos:
- Vazão volumétrica:
. - Seção 1: diâmetro
, comprimento . - Seção 2: diâmetro
, comprimento .
Condições e hipóteses implícitas (indicadas pelo enunciado): - Desprezar efeitos de entrada e perdas singulares (só considerar perdas por atrito em cada trecho).
- Temperatura uniforme (usar propriedades padrão da água).
A partir disso devemos calcular a perda de carga total devido ao atrito e a potência hidráulica necessária ao escoamento.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter unidades e calcular velocidades nas duas seções.
Converter a vazão para
:
Área da seção circular e velocidade média
. Fórmula da área:
onde
é o diâmetro.
Para a seção 1:
Para a seção 2:
Expliquei:
é a área transversal do cano e
é a velocidade média do fluido — ambas necessárias para estimar perdas por atrito.
Passo 3
Calcular os números de Reynolds para verificar o regime de escoamento e justificar a forma de obter o fator de atrito.
Fórmula do número de Reynolds:
onde
é a densidade do fluido (kg/m³),
a viscosidade dinâmica (Pa·s),
a velocidade média e
o diâmetro.
Adotamos propriedades típicas da água à temperatura ambiente (aproximação razoável quando a temperatura não foi dada):
Para a seção 1:
Para a seção 2:
Interpretação: ambos os números de Reynolds são muito maiores que
, logo o escoamento é turbulento nas duas seções.
Passo 4
Escolher e justificar a fórmula para o fator de atrito
.
Para perda por atrito em regime permanente e incompressível usamos a equação de Darcy–Weisbach:
onde
é a perda de carga (m),
é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
comprimento do trecho,
diâmetro,
velocidade média e
aceleração da gravidade (
).
Como o escoamento é turbulento e o enunciado diz “aço polido” (tubo relativamente liso) e não fornece rugosidade, vamos usar a correlação prática de Blasius para tubulações lisas/turbulentas como aproximação:
válida como aproximação em escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos (regimes práticos de engenharia; dá bons valores para Re entre aproximadamente
e
–
dependendo do caso). Estou escolhendo essa fórmula por simplicidade e por ser apropriada para tubos polidos; ela fornece uma estimativa robusta quando a rugosidade é pequena. (Se fosse necessário um cálculo mais exato com rugosidade conhecida, usar-se-ia a equação de Colebrook ou a fórmula explícita de Swamee–Jain.)
Passo 5
Calcular o fator de atrito em cada seção usando Blasius.
Para a seção 1 (
):
Para a seção 2 (
):
Comentário amigável: os fatores são da ordem de
, valor típico para escoamentos turbulentos em tubos lisos.
Passo 6
Calcular as perdas de carga por atrito em cada trecho com a fórmula de Darcy–Weisbach.
Relembrando a fórmula:
Calcular o termo
em cada trecho.
Para a seção 1:
Para a seção 2:
Perda de carga total por atrito (soma, pois os trechos estão em série):
Observação: a perda no trecho fino (diâmetro menor) domina porque a velocidade lá é muito maior e o termo
e
tornam a perda muito significativa.
Passo 7
Calcular a potência hidráulica necessária para superar essa perda de carga.
A potência hidráulica (potência entregue ao fluido para vencer as perdas) é dada por:
onde
em watts se
em
,
em
,
em
e
em metros.
Substituindo os valores:
Comentário final prático: este é o valor da potência hidráulica ideal requerida. Se um equipamento real (bomba) for usado, deve-se dividir pela eficiência da bomba para obter a potência elétrica necessária. Como o enunciado não dá eficiência, assumimos sistema ideal (ou potência hidráulica exigida).