360 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de água escoam por um tubo formado por duas seções de tubos cilíndricos de aço polido. A primeira seção tem 10 cm de diâmetro e 20 m de comprimento; a segunda tem 20 cm de diâmetro e 10 m de comprimento. Avalie a potência necessária para manter o escoamento no estado estacionário, desconsiderando efeitos de entrada e supondo temperatura uniforme.

Passo 1

O enunciado pede a potência necessária para manter o escoamento estacionário de água por um tubo composto de duas seções cilíndricas em série. Dados fornecidos:
  • Vazão volumétrica: \,Q=360\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Seção 1: diâmetro \,D_1=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}, comprimento \,L_1=20\\ \mathrm{m}.
  • Seção 2: diâmetro \,D_2=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}, comprimento \,L_2=10\\ \mathrm{m}.
    Condições e hipóteses implícitas (indicadas pelo enunciado):
  • Desprezar efeitos de entrada e perdas singulares (só considerar perdas por atrito em cada trecho).
  • Temperatura uniforme (usar propriedades padrão da água).
    A partir disso devemos calcular a perda de carga total devido ao atrito e a potência hidráulica necessária ao escoamento.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter unidades e calcular velocidades nas duas seções.
Converter a vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\frac{360\\ \mathrm{m^{3}}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Área da seção circular e velocidade média \,V=Q/A. Fórmula da área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde \,D é o diâmetro.
Para a seção 1:
A_1=\frac{\pi D_1^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}10)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0025\approx0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0{,}1}{0{,}00785398}\approx12{,}732\\ \mathrm{m/s}.
Para a seção 2:
A_2=\frac{\pi D_2^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}20)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}01\approx0{,}0314159\\ \mathrm{m^{2}}.
V_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0{,}1}{0{,}0314159}\approx3{,}183\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: A é a área transversal do cano e V é a velocidade média do fluido — ambas necessárias para estimar perdas por atrito.

Passo 3

Calcular os números de Reynolds para verificar o regime de escoamento e justificar a forma de obter o fator de atrito.
Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido (kg/m³), \mu a viscosidade dinâmica (Pa·s), V a velocidade média e D o diâmetro.
Adotamos propriedades típicas da água à temperatura ambiente (aproximação razoável quando a temperatura não foi dada):
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Para a seção 1:
\mathrm{Re}_1=\frac{1000\cdot 12{,}732\cdot 0{,}10}{1{,}00\times10^{-3}}\approx1{,}273\times10^{6}.
Para a seção 2:
\mathrm{Re}_2=\frac{1000\cdot 3{,}183\cdot 0{,}20}{1{,}00\times10^{-3}}\approx6{,}366\times10^{5}.
Interpretação: ambos os números de Reynolds são muito maiores que 4000, logo o escoamento é turbulento nas duas seções.

Passo 4

Escolher e justificar a fórmula para o fator de atrito \,f.
Para perda por atrito em regime permanente e incompressível usamos a equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\;\frac{L}{D}\;\frac{V^{2}}{2g},
onde h_f é a perda de carga (m), f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), L comprimento do trecho, D diâmetro, V velocidade média e g aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Como o escoamento é turbulento e o enunciado diz “aço polido” (tubo relativamente liso) e não fornece rugosidade, vamos usar a correlação prática de Blasius para tubulações lisas/turbulentas como aproximação:
f = 0{,}3164\;\mathrm{Re}^{-0{,}25},
válida como aproximação em escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos (regimes práticos de engenharia; dá bons valores para Re entre aproximadamente 4\times10^{3} e 10^{6} 10^{7} dependendo do caso). Estou escolhendo essa fórmula por simplicidade e por ser apropriada para tubos polidos; ela fornece uma estimativa robusta quando a rugosidade é pequena. (Se fosse necessário um cálculo mais exato com rugosidade conhecida, usar-se-ia a equação de Colebrook ou a fórmula explícita de Swamee–Jain.)

Passo 5

Calcular o fator de atrito em cada seção usando Blasius.
Para a seção 1 ( \mathrm{Re}_1\approx1{,}273\times10^{6}):
f_1=0{,}3164\;\mathrm{Re}_1^{-0{,}25}=0{,}3164\;(1{,}273\times10^{6})^{-0{,}25}\approx0{,}00946.
Para a seção 2 ( \mathrm{Re}_2\approx6{,}366\times10^{5}):
f_2=0{,}3164\;\mathrm{Re}_2^{-0{,}25}=0{,}3164\;(6{,}366\times10^{5})^{-0{,}25}\approx0{,}01123.
Comentário amigável: os fatores são da ordem de 10^{-2}, valor típico para escoamentos turbulentos em tubos lisos.

Passo 6

Calcular as perdas de carga por atrito em cada trecho com a fórmula de Darcy–Weisbach.
Relembrando a fórmula:
h_f = f\;\frac{L}{D}\;\frac{V^{2}}{2g}.
Calcular o termo \dfrac{V^{2}}{2g} em cada trecho.
Para a seção 1:
\frac{V_1^{2}}{2g}=\frac{(12{,}732)^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{162{,}12}{19{,}62}\approx8{,}267\\ \mathrm{m}.
\frac{L_1}{D_1}=\frac{20}{0{,}10}=200.
h_{f1}=f_1\cdot\frac{L_1}{D_1}\cdot\frac{V_1^{2}}{2g}=0{,}00946\cdot200\cdot8{,}267\approx15{,}64\\ \mathrm{m}.
Para a seção 2:
\frac{V_2^{2}}{2g}=\frac{(3{,}183)^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{10{,}13}{19{,}62}\approx0{,}5167\\ \mathrm{m}.
\frac{L_2}{D_2}=\frac{10}{0{,}20}=50.
h_{f2}=f_2\cdot\frac{L_2}{D_2}\cdot\frac{V_2^{2}}{2g}=0{,}01123\cdot50\cdot0{,}5167\approx0{,}290\\ \mathrm{m}.
Perda de carga total por atrito (soma, pois os trechos estão em série):
h_{f,\text{total}}=h_{f1}+h_{f2}\approx15{,}64+0{,}29\approx15{,}93\\ \mathrm{m}.
Observação: a perda no trecho fino (diâmetro menor) domina porque a velocidade lá é muito maior e o termo V^{2} e L/D tornam a perda muito significativa.

Passo 7

Calcular a potência hidráulica necessária para superar essa perda de carga.
A potência hidráulica (potência entregue ao fluido para vencer as perdas) é dada por:
P=\rho g Q h_{f,\text{total}},
onde P em watts se \rho em \mathrm{kg/m^{3}}, g em \mathrm{m/s^{2}}, Q em \mathrm{m^{3}/s} e h em metros.
Substituindo os valores:
P=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}1\cdot15{,}93\approx15627\\ \mathrm{W}\approx15{,}6\\ \mathrm{kW}.
Comentário final prático: este é o valor da potência hidráulica ideal requerida. Se um equipamento real (bomba) for usado, deve-se dividir pela eficiência da bomba para obter a potência elétrica necessária. Como o enunciado não dá eficiência, assumimos sistema ideal (ou potência hidráulica exigida).

Resposta

P\approx15{,}6\\ \mathrm{kW}

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