- Uma pirâmide triangular regular tem área da base igual a
e altura 4 dm , calcular o apótema da pirâmide.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide triangular regular com: a área da base igual a
e a altura (vertical) da pirâmide igual a
. A pergunta é: calcular o apótema da pirâmide (ou seja, a altura inclinada de uma face lateral desde o vértice da base até o vértice da pirâmide).\n
Informações relevantes fornecidas:
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Não foi pedido nada mais.
Passo 2
Primeiro precisamos obter o lado da base, que é um triângulo equilátero (pois a base é triangular regular). A fórmula da área de um triângulo equilátero de lado
é
Explico essa fórmula rapidinho: para um triângulo equilátero, a altura vale
; multiplicando base
altura e dividindo por 2 vem a fórmula acima. Aqui a variável
é o comprimento do lado do triângulo da base (em
).
Passo 3
Igualamos a fórmula da área ao valor dado e resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
obtemos
Tomando raiz positiva (lado é positivo),
Passo 4
Agora precisamos achar a distância, no plano da base, entre o centro do triângulo (onde a altura da pirâmide incide) e o ponto médio de um dos lados da base. Essa distância é o deslocamento horizontal que, junto com a altura vertical da pirâmide, forma o cateto da rampa lateral cuja hipotenusa é o apótema que queremos.
Para um triângulo equilátero de lado
, a altura do triângulo (distância entre um vértice e o lado oposto) é
O centro (baricentro/circuncentro/incentro, todos coincidem no equilátero) está sobre a mediana a uma distância de
do lado (e
do vértice). Portanto a distância do centro até o ponto médio de um lado é
Passo 5
Calculemos
usando
:
Então
Passo 6
O apótema da pirâmide (vou chamar de
) é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura vertical da pirâmide
e pelo deslocamento horizontal
que acabamos de calcular. Pelo Teorema de Pitágoras:
Explico: o apótema é a distância em linha reta do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base; projetando perpendicularmente ao plano da base obtemos um triângulo retângulo com catetos vertical e horizontal.
Passo 7
Substituímos os valores:
Portanto
Podemos racionalizar/simplificar a raiz:
Se quiser uma aproximação numérica: