1. Uma pirâmide triangular regular tem área da base igual a 8 \sqrt{3} \mathrm{dm}^{2} e altura 4 dm , calcular o apótema da pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide triangular regular com: a área da base igual a \,8\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}^2 e a altura (vertical) da pirâmide igual a \,4\\ \mathrm{dm}. A pergunta é: calcular o apótema da pirâmide (ou seja, a altura inclinada de uma face lateral desde o vértice da base até o vértice da pirâmide).\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{Área da base} = 8\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}^2,\qquad \text{altura da pirâmide} = 4\\ \mathrm{dm}.Áâ
Não foi pedido nada mais.

Passo 2

Primeiro precisamos obter o lado da base, que é um triângulo equilátero (pois a base é triangular regular). A fórmula da área de um triângulo equilátero de lado \,a é
\text{Área}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.Á
Explico essa fórmula rapidinho: para um triângulo equilátero, a altura vale \frac{\sqrt{3}}{2}a; multiplicando base \times altura e dividindo por 2 vem a fórmula acima. Aqui a variável a é o comprimento do lado do triângulo da base (em \mathrm{dm}).

Passo 3

Igualamos a fórmula da área ao valor dado e resolvemos para a:
\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=8\sqrt{3}.
Dividindo ambos os lados por \sqrt{3} e multiplicando por 4 obtemos
a^{2}=32.
Tomando raiz positiva (lado é positivo),
a=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\\ \mathrm{dm}.

Passo 4

Agora precisamos achar a distância, no plano da base, entre o centro do triângulo (onde a altura da pirâmide incide) e o ponto médio de um dos lados da base. Essa distância é o deslocamento horizontal que, junto com a altura vertical da pirâmide, forma o cateto da rampa lateral cuja hipotenusa é o apótema que queremos.
Para um triângulo equilátero de lado \,a, a altura do triângulo (distância entre um vértice e o lado oposto) é
H_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a.
O centro (baricentro/circuncentro/incentro, todos coincidem no equilátero) está sobre a mediana a uma distância de \frac{H_{\text{base}}}{3} do lado (e \frac{2H_{\text{base}}}{3} do vértice). Portanto a distância do centro até o ponto médio de um lado é
r=\frac{H_{\text{base}}}{3}.

Passo 5

Calculemos H_{\text{base}} usando a=4\sqrt{2}:
H_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{6}\\ \mathrm{dm}.
Então
r=\frac{H_{\text{base}}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\\ \mathrm{dm}.

Passo 6

O apótema da pirâmide (vou chamar de l) é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura vertical da pirâmide \,4\\ \mathrm{dm} e pelo deslocamento horizontal r que acabamos de calcular. Pelo Teorema de Pitágoras:
l^{2}=(\text{altura})^{2}+r^{2}.
Explico: o apótema é a distância em linha reta do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base; projetando perpendicularmente ao plano da base obtemos um triângulo retângulo com catetos vertical e horizontal.

Passo 7

Substituímos os valores:
l^{2}=4^{2}+\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}=16+\frac{4\cdot 6}{9}=16+\frac{24}{9}=16+\frac{8}{3}=\frac{48+8}{3}=\frac{56}{3}.
Portanto
l=\sqrt{\frac{56}{3}}.
Podemos racionalizar/simplificar a raiz:
\sqrt{\frac{56}{3}}=\frac{2\sqrt{42}}{3}\\ \mathrm{dm}\\ (\text{valor exato}).
Se quiser uma aproximação numérica:
l\approx 4,320\\ \mathrm{dm}.

Resposta

\dfrac{2\sqrt{42}}{3}\\ \mathrm{dm}

Exercícios relacionados