(Baseada na Questão 12) Uma corda de aço de um instrumento possui comprimento de
e massa total de
. Ela está submetida a uma força de tensão de
.
(a) Calcule a velocidade de propagação das ondas transversais nesta corda.
(b) Se desejarmos reduzir a velocidade da onda pela metade
factor
mantendo a mesma tensão, qual deve ser a massa adicional (em gramas) de um fio de cobre enrolado sobre a corda original?
(a) Calcule a velocidade de propagação das ondas transversais nesta corda.
(b) Se desejarmos reduzir a velocidade da onda pela metade
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Comprimento da corda:
. - Massa total da corda original:
. - Tensão na corda:
.
As perguntas são:
(a) Calcular a velocidade de propagação das ondas transversais na corda original.
(b) Mantendo a mesma tensão , reduzir a velocidade pela metade (fator
). Qual a massa adicional (em gramas) de um fio de cobre enrolado sobre a corda original necessária para isso?
(a) Calcular a velocidade de propagação das ondas transversais na corda original.
(b) Mantendo a mesma tensão
Passo 2
Fórmula que vamos usar e o que cada símbolo significa.
Para ondas transversais numa corda tensionada vale
onde:
-
é a velocidade da onda (em ), -
é a tensão na corda (em ), -
é a densidade linear de massa da corda, isto é, massa por unidade de comprimento (em ): .
Comentário didático curto: essa fórmula vem da equação da onda para uma corda elástica. Também dá para checar pelas unidades:
tem unidades
, e a raiz dá
, consistente.
Passo 3
Calcular a densidade linear
da corda original.
Converter massa para kg:
.
Calcular
Passo 4
Calcular a velocidade
usando
.
Substituindo os valores:
Fazer a divisão:
Logo
Interpretação prática: a velocidade é da ordem de algumas centenas de metros por segundo — algo típico para cordas metálicas bem tensionadas.
Passo 5
Agora a parte (b): reduzir a velocidade pela metade mantendo
constante.
Se a nova velocidade desejada é
, então a nova densidade linear
deve satisfazer
Como
, tem-se
Portanto a densidade linear precisa quadruplicar. Isso implica que a massa total necessária para a corda+fio sobre o mesmo comprimento
será quatro vezes a massa original.
Passo 6
Calcular as massas numéricas.
Massa total nova:
Massa adicional necessária (fio de cobre):
(Em kg:
.)
Resposta
(a)
(b)
(b)