(Baseada na Questão 12) Uma corda de aço de um instrumento possui comprimento de 0,8 m e massa total de 4 g. Ela está submetida a uma força de tensão de 640 N.
(a) Calcule a velocidade de propagação das ondas transversais nesta corda.
(b) Se desejarmos reduzir a velocidade da onda pela metade ( factor =2) mantendo a mesma tensão, qual deve ser a massa adicional (em gramas) de um fio de cobre enrolado sobre a corda original?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Comprimento da corda: L = 0,8\\ \mathrm{m}.
  • Massa total da corda original: m_{\text{orig}} = 4\\ \mathrm{g} = 0,004\\ \mathrm{kg}.
  • Tensão na corda: T = 640\\ \mathrm{N}.
As perguntas são:
(a) Calcular a velocidade de propagação das ondas transversais na corda original.
(b) Mantendo a mesma tensão T, reduzir a velocidade pela metade (fator =2). Qual a massa adicional (em gramas) de um fio de cobre enrolado sobre a corda original necessária para isso?

Passo 2

Fórmula que vamos usar e o que cada símbolo significa.
Para ondas transversais numa corda tensionada vale
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}),
  • T é a tensão na corda (em \mathrm{N}),
  • \mu é a densidade linear de massa da corda, isto é, massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}): \mu = \dfrac{m}{L}.
Comentário didático curto: essa fórmula vem da equação da onda para uma corda elástica. Também dá para checar pelas unidades: \dfrac{T}{\mu} tem unidades \dfrac{\mathrm{kg\cdot m/s^2}}{\mathrm{kg/m}} = \mathrm{m^2/s^2}, e a raiz dá \mathrm{m/s}, consistente.

Passo 3

Calcular a densidade linear \mu da corda original.
Converter massa para kg: m_{\text{orig}} = 4\\ \mathrm{g} = 0,004\\ \mathrm{kg}.
Calcular
\mu = \frac{m_{\text{orig}}}{L} = \frac{0,004}{0,8} = 0,005\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

Calcular a velocidade v usando \displaystyle v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Substituindo os valores:
v = \sqrt{\frac{640}{0,005}}.
Fazer a divisão:
\frac{640}{0,005} = 128000.
Logo
v = \sqrt{128000} \approx 357{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação prática: a velocidade é da ordem de algumas centenas de metros por segundo — algo típico para cordas metálicas bem tensionadas.

Passo 5

Agora a parte (b): reduzir a velocidade pela metade mantendo T constante.
Se a nova velocidade desejada é v_{\text{new}} = \dfrac{v}{2}, então a nova densidade linear \mu_{\text{new}} deve satisfazer
v_{\text{new}} = \sqrt{\frac{T}{\mu_{\text{new}}}} \quad\Longrightarrow\quad \mu_{\text{new}} = \frac{T}{v_{\text{new}}^{2}}.
Como v_{\text{new}} = \dfrac{v}{2}, tem-se
\mu_{\text{new}} = \frac{T}{(v/2)^{2}} = \frac{T}{v^{2}/4} = 4\frac{T}{v^{2}} = 4\mu.
Portanto a densidade linear precisa quadruplicar. Isso implica que a massa total necessária para a corda+fio sobre o mesmo comprimento L será quatro vezes a massa original.

Passo 6

Calcular as massas numéricas.
Massa total nova:
m_{\text{new}} = 4\,m_{\text{orig}} = 4\times 4\\ \mathrm{g} = 16\\ \mathrm{g}.
Massa adicional necessária (fio de cobre):
m_{\text{adicional}} = m_{\text{new}} - m_{\text{orig}} = 16\\ \mathrm{g} - 4\\ \mathrm{g} = 12\\ \mathrm{g}.
(Em kg: m_{\text{adicional}} = 0,012\\ \mathrm{kg}.)

Resposta

(a) v \approx 357{,}8\\ \mathrm{m/s}
(b) 12\\ \mathrm{g}

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