(Baseada na Questão 6 - Cap. XIV) Uma onda sonora se propagando no ar gera uma variação de pressão descrita pela equação:
p(x, t)=0,60 \cos \left(\frac{\pi x}{3}-400 \pi t\right)
Onde p está em Pascal, x em metros e t em segundos. Determine:
(a) A amplitude de pressão e o número de onda ( k ).
(b) O comprimento de onda e a frequência da onda sonora.
(c) A velocidade de propagação desta onda específica.

Passo 1

O enunciado nos dá a variação de pressão de uma onda sonora:
p(x,t)=0,60\cos\!\left(\frac{\pi x}{3}-400\pi t\right).
As perguntas são:
(a) Determinar a amplitude de pressão e o número de onda k.
(b) Determinar o comprimento de onda \lambda e a frequência f.
(c) Determinar a velocidade de propagação v da onda.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente multiplicando o cosseno é 0,60 (unidade: Pascal).
  • O argumento do cosseno tem a forma \dfrac{\pi x}{3}-400\pi t; daí surgirão k (coeficiente de x) e \omega (coeficiente de t).

Passo 2

Entender a forma padrão de uma onda harmônica unidimensional (onda progressiva):
\text{uma forma padrão:}\quad A\cos(kx-\omega t+\varphi),ã
onde:
  • A é a amplitude (amplitude de pressão aqui), com unidades apropriadas (Pa neste caso);
  • k é o número de onda, medido em \mathrm{rad/m}, e está relacionado ao comprimento de onda por \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\;;
  • \omega é a frequência angular, medida em \mathrm{rad/s}, e está relacionada à frequência f por \;\omega=2\pi f\;;
  • \varphi é a fase inicial (aqui é zero, pois não há termo aditivo no argumento).
Vou aplicar essas correspondências ao termo dado \dfrac{\pi x}{3}-400\pi t.

Passo 3

Identificar amplitude e número de onda k comparando com a forma padrão.
Da equação dada:
  • O coeficiente à frente do cosseno é 0,60. Assim a amplitude de pressão é
A_p = 0,60\\ \text{Pa}.
  • O termo que multiplica x no argumento é \dfrac{\pi}{3}. Comparando com kx, obtemos
k=\frac{\pi}{3}\\ \text{rad/m}.

Passo 4

Determinar o comprimento de onda \lambda usando a relação entre k e \lambda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=\dfrac{\pi}{3}:
\lambda=\frac{2\pi}{\pi/3}=2\pi\cdot\frac{3}{\pi}=6\\ \text{m}.
(Fiz a simplificação cancelando \pi: 2\pi\cdot 3/\pi = 6.)

Passo 5

Encontrar a frequência f. Primeiro identifique a frequência angular \omega: o coeficiente que multiplica t no argumento é 400\pi, portanto
\omega = 400\pi\\ \text{rad/s}.
Usando \omega=2\pi f, obtemos
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{400\pi}{2\pi}=200\\ \text{Hz}.
(As \pi se cancelam e 400/2=200.)

Passo 6

Calcular a velocidade de propagação v. Há duas fórmulas equivalentes que serve para checar o resultado:
v=\frac{\omega}{k}\quad\text{ou}\quad v=f\lambda.
Usando \omega=400\pi e k=\dfrac{\pi}{3}:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{400\pi}{\pi/3}=400\cdot 3=1200\\ \text{m/s}.
Usando f=200\\ \text{Hz} e \lambda=6\\ \text{m}:
v=f\lambda=200\cdot 6=1200\\ \text{m/s}.
As duas formas dão o mesmo resultado, portanto a velocidade é 1200\\ \text{m/s}.

Passo 7

Resumo dos resultados intermediários (para conferência rápida):
  • Amplitude A_p=0,60\\ \text{Pa}.
  • Número de onda k=\dfrac{\pi}{3}\\ \text{rad/m}.
  • Comprimento de onda \lambda=6\\ \text{m}.
  • Frequência f=200\\ \text{Hz}.
  • Velocidade v=1200\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) A_p=0,60\\ \text{Pa} \quad e \quad k=\dfrac{\pi}{3}\\ \text{rad/m}
(b) \lambda=6\\ \text{m} \quad e \quad f=200\\ \text{Hz}
(c) v=1200\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados