(Baseada na Questão 6 - Cap. XIV) Uma onda sonora se propagando no ar gera uma variação de pressão descrita pela equação:
Onde
está em Pascal,
em metros e
em segundos. Determine:
(a) A amplitude de pressão e o número de onda (
).
(b) O comprimento de onda e a frequência da onda sonora.
(c) A velocidade de propagação desta onda específica.
(a) A amplitude de pressão e o número de onda (
(b) O comprimento de onda e a frequência da onda sonora.
(c) A velocidade de propagação desta onda específica.
Passo 1
O enunciado nos dá a variação de pressão de uma onda sonora:
As perguntas são:
(a) Determinar a amplitude de pressão e o número de onda .
(b) Determinar o comprimento de onda e a frequência
.
(c) Determinar a velocidade de propagação da onda.
(a) Determinar a amplitude de pressão e o número de onda
(b) Determinar o comprimento de onda
(c) Determinar a velocidade de propagação
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente multiplicando o cosseno é
(unidade: Pascal). - O argumento do cosseno tem a forma
; daí surgirão (coeficiente de ) e (coeficiente de ).
Passo 2
Entender a forma padrão de uma onda harmônica unidimensional (onda progressiva):
onde:
-
é a amplitude (amplitude de pressão aqui), com unidades apropriadas (Pa neste caso); -
é o número de onda, medido em , e está relacionado ao comprimento de onda por ; -
é a frequência angular, medida em , e está relacionada à frequência por ; -
é a fase inicial (aqui é zero, pois não há termo aditivo no argumento).
Vou aplicar essas correspondências ao termo dado
.
Passo 3
Identificar amplitude e número de onda
comparando com a forma padrão.
Da equação dada:
- O coeficiente à frente do cosseno é
. Assim a amplitude de pressão é
- O termo que multiplica
no argumento é . Comparando com , obtemos
Passo 4
Determinar o comprimento de onda
usando a relação entre
e
:
Substituindo
:
(Fiz a simplificação cancelando
:
.)
Passo 5
Encontrar a frequência
. Primeiro identifique a frequência angular
: o coeficiente que multiplica
no argumento é
, portanto
Usando
, obtemos
(As
se cancelam e
.)
Passo 6
Calcular a velocidade de propagação
. Há duas fórmulas equivalentes que serve para checar o resultado:
Usando
e
:
Usando
e
:
As duas formas dão o mesmo resultado, portanto a velocidade é
.
Passo 7
Resumo dos resultados intermediários (para conferência rápida):
- Amplitude
. - Número de onda
. - Comprimento de onda
. - Frequência
. - Velocidade
.
Resposta
(a)
e
(b)
e
(c)