Uma partícula de massa m está confinada dentro de uma cavidade esférica de raio R, cujas paredes são impenetráveis. Considere o potencial dentro da cavidade como sendo nulo e encontre a pressão exercida nas paredes da mesma pela partícula quando a mesma se encontra no estado fundamental.
Dica: Use o teorema de Ehrenfest.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a pressão que a partícula exerce nas paredes da cavidade esférica quando ela está no estado fundamental.
Informações dadas e condições do problema:
  • A partícula tem massa m.
  • A cavidade é esférica de raio R com paredes impenetráveis.
  • O potencial é 0 dentro da cavidade ( r<R) e infinito nas paredes ( r\ge R); portanto a função de onda satisfaz condição de contorno nula na parede: \psi(r=R)=0.
  • Quer-se a pressão exercida nas paredes pela partícula no estado fundamental (menor energia possível do sistema).
  • Foi dada a dica de usar o teorema de Ehrenfest.

Passo 2

Entendendo a ligação entre força/pressão e energia: idea principal que vou usar (explicada passo a passo).
  • Pressão é força por unidade de área. Se a energia do sistema depende do volume da cavidade, um deslocamento infinitesimal da parede muda a energia; essa variação de energia está ligada ao trabalho realizado pela partícula sobre a parede, e daí à pressão.
  • Em termos práticos, para uma variação infinitesimal do raio R a pressão p satisfaz
\delta W = p\cdot(4\pi R^2)\,\delta R,
onde \delta W é o trabalho feito pela partícula sobre a parede quando a parede se desloca radialmente \delta R. Por conservação de energia (ou argumento de trabalho virtual), esse trabalho é o negativo da variação da energia própria do estado quântico:
\delta W = -\,\delta E.
  • Combinando as duas expressões obtemos a relação útil
p = -\frac{1}{4\pi R^2}\,\frac{dE}{dR}.
  • Outra forma equivalente, que uso frequentemente porque é direta, é usar a derivada em relação ao volume V=\tfrac{4}{3}\pi R^3:
p = -\frac{dE}{dV}.
  • Conexão com o teorema de Ehrenfest: o teorema diz que a taxa de variação da esperança do momento é dada por
\frac{d}{dt}\langle \mathbf{p}\rangle = -\langle \nabla V\rangle.
Para estados estacionários a esperança \langle \mathbf{p}\rangle é constante, e a força média sobre a partícula vem da interface onde o potencial muda (as paredes). Essa ideia (força média das paredes) é coerente com o método do trabalho/energia acima; portanto usar p=-dE/dV é compatível com a dica de Ehrenfest e é a maneira prática de obter a pressão aqui.

Passo 3

Encontrar a energia do estado fundamental da partícula na cavidade esférica (poço esférico infinito).
  • A equação de Schrödinger independente do tempo dentro da região r<R (onde V=0) é
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r).
  • Em coordenadas esféricas, a separação de variáveis leva às soluções com ramos radiais associados aos momentos angulares l. O estado fundamental tem momento angular l=0 (onda esfericamente simétrica). Para l=0 a parte radial u(r)=r\,R(r) satisfaz a equação unidimensional
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dr^2}=E\,u,
com condições u(0)=0 e u(R)=0.
  • A equação acima é a equação de uma onda livre no intervalo (0,R). Colocando k^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2} obtemos
\frac{d^2 u}{dr^2} + k^2 u = 0,
cuja solução geral regular em r=0 é
u(r)=A\sin(k r).
  • A condição de contorno u(R)=0 implica \sin(kR)=0, logo kR=n\pi para inteiro positivo n. O estado fundamental corresponde a n=1, portanto
k=\frac{\pi}{R}.
  • Assim a energia do estado fundamental é
E(R)=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{R}\right)^2=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mR^2}.
Aqui expliquei cada símbolo:
  • \hbar é a constante reduzida de Planck,
  • m é a massa da partícula,
  • R é o raio da cavidade,
  • E(R) é a energia do estado fundamental, que depende de R.

Passo 4

Calcular a pressão a partir de E(R) usando p=-dE/dV. Vou fazer as derivadas passo a passo.
  • Primeiro escrevo E(R) numa forma \displaystyle E(R)=\frac{A}{R^2} com A=\dfrac{\hbar^2\pi^2}{2m}.
  • Derivando em relação a R:
\frac{dE}{dR} = -2\frac{A}{R^3} = -2\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\frac{1}{R^3} = -\frac{\hbar^2\pi^2}{m}\frac{1}{R^3}.
  • O volume da esfera é V=\dfrac{4}{3}\pi R^3. Sua derivada em relação a R é
\frac{dV}{dR} = 4\pi R^2.
  • Usando a regra da cadeia,
\frac{dE}{dV}=\frac{dE/dR}{dV/dR}=\frac{-\dfrac{\hbar^2\pi^2}{m}\dfrac{1}{R^3}}{4\pi R^2} = -\frac{\hbar^2\pi^2}{m}\cdot\frac{1}{4\pi R^5}.
  • Finalmente a pressão é
p = -\frac{dE}{dV} = \frac{\hbar^2\pi^2}{m}\cdot\frac{1}{4\pi R^5} = \frac{\hbar^2\pi}{4mR^5}.
Se quiser, pode também escrever o resultado em termos de E e R: usando E=\dfrac{\hbar^2\pi^2}{2mR^2} obtem-se p=\dfrac{E}{2\pi R^3} (verificação rápida: substituir E p=\dfrac{\hbar^2\pi^2}{2mR^2}\cdot\dfrac{1}{2\pi R^3}=\dfrac{\hbar^2\pi}{4mR^5}, consistente).

Passo 5

Interpretação física e observações práticas:
  • O resultado escala como p\propto \hbar^2/(mR^5): para cavidades menores (menor R) a pressão quântica cresce fortemente, porque energia quântica aumenta quando o espaço disponível diminui.
  • A dedução usada é compatível com o teorema de Ehrenfest: a força média que a partícula exerce nas paredes (integrada sobre a área) é dada pelo balanço entre variação de momento e a força do potencial na fronteira; o caminho prático e robusto é relacionar o trabalho nas paredes com a variação de energia do estado, levando a p=-dE/dV.

Resposta

p=\frac{\hbar^2\pi}{4mR^5}.

Exercícios relacionados