Uma partícula de massa
está confinada dentro de uma cavidade esférica de raio
, cujas paredes são impenetráveis. Considere o potencial dentro da cavidade como sendo nulo e encontre a pressão exercida nas paredes da mesma pela partícula quando a mesma se encontra no estado fundamental.
Dica: Use o teorema de Ehrenfest.
Dica: Use o teorema de Ehrenfest.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a pressão que a partícula exerce nas paredes da cavidade esférica quando ela está no estado fundamental.
Informações dadas e condições do problema:
Informações dadas e condições do problema:
- A partícula tem massa
. - A cavidade é esférica de raio
com paredes impenetráveis. - O potencial é
dentro da cavidade ( ) e infinito nas paredes ( ); portanto a função de onda satisfaz condição de contorno nula na parede: . - Quer-se a pressão exercida nas paredes pela partícula no estado fundamental (menor energia possível do sistema).
- Foi dada a dica de usar o teorema de Ehrenfest.
Passo 2
Entendendo a ligação entre força/pressão e energia: idea principal que vou usar (explicada passo a passo).
- Pressão é força por unidade de área. Se a energia do sistema depende do volume da cavidade, um deslocamento infinitesimal da parede muda a energia; essa variação de energia está ligada ao trabalho realizado pela partícula sobre a parede, e daí à pressão.
- Em termos práticos, para uma variação infinitesimal do raio
a pressão satisfaz
onde
é o trabalho feito pela partícula sobre a parede quando a parede se desloca radialmente
. Por conservação de energia (ou argumento de trabalho virtual), esse trabalho é o negativo da variação da energia própria do estado quântico:
- Combinando as duas expressões obtemos a relação útil
- Outra forma equivalente, que uso frequentemente porque é direta, é usar a derivada em relação ao volume
:
- Conexão com o teorema de Ehrenfest: o teorema diz que a taxa de variação da esperança do momento é dada por
Para estados estacionários a esperança
é constante, e a força média sobre a partícula vem da interface onde o potencial muda (as paredes). Essa ideia (força média das paredes) é coerente com o método do trabalho/energia acima; portanto usar
é compatível com a dica de Ehrenfest e é a maneira prática de obter a pressão aqui.
Passo 3
Encontrar a energia do estado fundamental da partícula na cavidade esférica (poço esférico infinito).
- A equação de Schrödinger independente do tempo dentro da região
(onde ) é
- Em coordenadas esféricas, a separação de variáveis leva às soluções com ramos radiais associados aos momentos angulares
. O estado fundamental tem momento angular (onda esfericamente simétrica). Para a parte radial satisfaz a equação unidimensional
com condições
e
.
- A equação acima é a equação de uma onda livre no intervalo
. Colocando obtemos
cuja solução geral regular em
é
- A condição de contorno
implica , logo para inteiro positivo . O estado fundamental corresponde a , portanto
- Assim a energia do estado fundamental é
Aqui expliquei cada símbolo:
-
é a constante reduzida de Planck, -
é a massa da partícula, -
é o raio da cavidade, -
é a energia do estado fundamental, que depende de .
Passo 4
Calcular a pressão a partir de
usando
. Vou fazer as derivadas passo a passo.
- Primeiro escrevo
numa forma com . - Derivando em relação a
:
- O volume da esfera é
. Sua derivada em relação a é
- Usando a regra da cadeia,
- Finalmente a pressão é
Se quiser, pode também escrever o resultado em termos de
e
: usando
obtem-se
(verificação rápida: substituir
dá
, consistente).
Passo 5
Interpretação física e observações práticas:
- O resultado escala como
: para cavidades menores (menor ) a pressão quântica cresce fortemente, porque energia quântica aumenta quando o espaço disponível diminui. - A dedução usada é compatível com o teorema de Ehrenfest: a força média que a partícula exerce nas paredes (integrada sobre a área) é dada pelo balanço entre variação de momento e a força do potencial na fronteira; o caminho prático e robusto é relacionar o trabalho nas paredes com a variação de energia do estado, levando a
.