(Baseada na Questão 71 - Cap. XIV) Um sistema de som em um canteiro de obras gera uma intensidade sonora de 2 \times 10^{-3} W / m^{2} a uma distância de 10 m da fonte. Admitindo que o som se propaga uniformemente em um hemisfério (solo refletor):
(a) Qual o nível de intensidade sonora em decibéis ( d B ) a essa distância?
(b) Qual a potência acústica total emitida pela fonte?
(c) A que distância da fonte o nível de intensidade sonora atingirá o limite de segurança de 85 d B ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A intensidade sonora medida a 10\\ \text{m} é I(10)=2\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • O som se propaga uniformemente sobre um hemisfério (o solo reflete, logo a área de propagação é a de um hemisfério).
  • Perguntas:
    (a) Qual o nível de intensidade sonora em decibéis ( \mathrm{dB}) a 10\\ \text{m}?
    (b) Qual a potência acústica total P emitida pela fonte?
    (c) A que distância r o nível de intensidade sonora será 85\\ \mathrm{dB}?

Passo 2

Explico a fórmula para converter intensidade sonora em nível sonoro (decibéis) e aplico ao item (a).
  • Definição / fórmula: o nível de intensidade sonora L em decibéis é dado por
L = 10 \log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right),
onde I é a intensidade em \mathrm{W/m^{2}} e I_{0} é a intensidade de referência. O valor padrão de referência é
I_{0} = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Interpretação breve: o fator 10 vem do fato de que decibel é uma medida logarítmica de potência; \log_{10} transforma razões multiplicativas em somas e torna a escala mais manejável.
Aplicando com I(10)=2\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}:
L(10)=10\log_{10}\!\left(\dfrac{2\times10^{-3}}{10^{-12}}\right) =10\log_{10}\!\left(2\times10^{9}\right).
Agora uso \log_{10}(2\times10^{9})=\log_{10}2 + 9 e \log_{10}2\approx0{,}30103, portanto
L(10)=10(9+0{,}30103)=10\cdot9{,}30103=93{,}0103\\ \mathrm{dB}.
Arredondando razoavelmente:
L(10)\approx93{,}01\\ \mathrm{dB}.

Passo 3

Vou ensinar e calcular a potência acústica total emitida (item (b)). Raciocínio físico:
  • Se a emissão é uniforme sobre um hemisfério de raio r, a área do hemisfério é metade da superfície esférica:
A_{\text{hemisfério}}=\tfrac{1}{2}\cdot 4\pi r^{2}=2\pi r^{2}.é
  • A potência total P espalhada sobre essa área é intensidade vezes área:
P = I(r)\cdot A_{\text{hemisfério}}.é
Usando I(10)=2\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}} e r=10\\ \text{m}:
P = \left(2\times10^{-3}\right)\cdot\left(2\pi\cdot 10^{2}\right) =2\times10^{-3}\cdot 200\pi =0{,}4\pi\\ \mathrm{W}.
Calculo numérico aproximado com \pi\approx3{,}14159:
P\approx0{,}4\times3{,}14159=1{,}256637\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
P\approx1{,}26\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Vou explicar duas formas equivalentes de achar a distância para 85\\ \mathrm{dB} (item (c)) e calcular — escolho a que usa diretamente a dependência I\propto1/r^{2}, que é rápida para provas.
  • Primeiro: converter o nível desejado L_{\text{alvo}}=85\\ \mathrm{dB} em intensidade I_{\text{alvo}} usando a mesma fórmula invertida:
I_{\text{alvo}} = I_{0}\cdot 10^{L_{\text{alvo}}/10}.
Substituindo I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}} e L_{\text{alvo}}=85:
I_{\text{alvo}}=10^{-12}\cdot 10^{85/10}=10^{-12}\cdot 10^{8{,}5}=10^{-3{,}5}.
Em formato decimal,
I_{\text{alvo}}=10^{-3{,}5}\approx3{,}16227766\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Segundo: como a potência total P é constante (a fonte não muda), e a intensidade em distância r em propagação hemisférica é
I(r)=\dfrac{P}{2\pi r^{2}},
pode-se usar a razão entre intensidades em duas distâncias (dependência 1/r^{2}):
\dfrac{I(r)}{I(10)}=\left(\dfrac{10}{r}\right)^{2}.
Queremos I(r)=I_{\text{alvo}}, então
\left(\dfrac{10}{r}\right)^{2}=\dfrac{I_{\text{alvo}}}{I(10)}\quad\Rightarrow\quad r = 10\sqrt{\dfrac{I(10)}{I_{\text{alvo}}}}.
  • Substituo os valores numéricos:
r = 10\sqrt{\dfrac{2\times10^{-3}}{3{,}16227766\times10^{-4}}} =10\sqrt{\dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{3{,}16227766\times10^{-4}}}.
Calculo interno da razão:
\dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{3{,}16227766\times10^{-4}}=\dfrac{2{,}0}{0{,}316227766}\approx6{,}32455532.
Então
r = 10\sqrt{6{,}32455532}\approx10\cdot2{,}5149\approx25{,}149\\ \text{m}.
Arredondando:
r\approx25{,}15\\ \text{m}.
(Observação: poderia também usar r=\sqrt{P/(2\pi I_{\text{alvo}})} com o P do passo anterior; o resultado é o mesmo.)

Passo 5

Recapitulando com comentários encorajadores rápidos: já temos o nível em decibéis perto de 93\\ \mathrm{dB} a 10\\ \text{m}, a fonte emite cerca de 1{,}26\\ \mathrm{W} e para cair até 85\\ \mathrm{dB} é preciso estar a cerca de 25{,}15\\ \text{m}. Tá indo bem — esses passos são padrão em acústica e cai bastante em provas; decorar as fórmulas e saber a lógica hemisfério → área 2\pi r^{2} + conversão dB ↔ intensidade resolve muita questão.

Resposta

(a) 93{,}01\\ \mathrm{dB}
(b) 1{,}26\\ \mathrm{W}
(c) 25{,}15\\ \text{m}

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