Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar defeito é de 0,05 . Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar: Entre 3 (incluso) e 7 (incluso) defeituosos

Passo 1

Então, galera, a gente tem um problema onde a chance de um componente elétrico apresentar defeito é de 5% (ou 0,05). A pergunta é: se a gente pega uma amostra de 8 componentes, qual a probabilidade de encontrar entre 3 e 7 defeituosos? Vamos resolver isso usando Probabilidade Binomial, que é o ramo da estatística que lida com o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros que vamos usar na fórmula da distribuição binomial:
  • n: número de tentativas (no caso, 8 componentes).
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (um componente defeituoso, que é 0,05).
  • k: número de sucessos que a gente quer calcular (de 3 a 7 defeituosos).

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde binomnk é a combinação de n elementos tomados k a k.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para cada valor de k de 3 até 7 e depois somar tudo. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Para k = 3:
P(X = 3) = binom83 times 0,05^3 times 0,95^5 = 56 times 0,000125 times 0,7737809375 approx 0,0054
  1. Para k = 4:
P(X = 4) = binom84 times 0,05^4 times 0,95^4 = 70 times 0,00000625 times 0,81450625 approx 0,000356
  1. Para k = 5:
P(X = 5) = binom85 times 0,05^5 times 0,95^3 = 56 times 0,0000003125 times 0,857375 approx 0,000015
  1. Para k = 6:
P(X = 6) = binom86 times 0,05^6 times 0,95^2 = 28 times 0,000000015625 times 0,9025 approx 0,0000004
  1. Para k = 7:
P(X = 7) = binom87 times 0,05^7 times 0,95^1 = 8 times 0,00000000078125 times 0,95 approx 0,000000006

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a chance total de ter entre 3 e 7 defeituosos:
P(3 <= X <= 7) approx 0,0054 + 0,000356 + 0,000015 + 0,0000004 + 0,000000006 approx 0,0058

Resposta

A probabilidade de encontrar entre 3 e 7 componentes defeituosos em uma amostra de 8 é de aproximadamente 0,58%.

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