Determinada tipo de parafuso é vendido em caixas de 50 unidades. É uma característica da fabricação produzir uma proporção de 0,08 defeituosos. O fabricante decide adotar o seguinte esquema de vendas: o comprador escolhe aleatoriamente, sem reposição, 5 unidades. Se a amostra tiver nenhum defeituoso, ele paga 20, 00 ; 1 ou 2 defeitos ele paga 10,00,3 ou mais ele paga 8,00. Qual o valor médio do preço de venda?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma caixa com 50 parafusos, dos quais 8% são defeituosos. O comprador vai escolher 5 parafusos de forma aleatória e sem reposição. Dependendo de quantos defeituosos ele pegar nessa amostra de 5, o preço que ele paga muda:
  • Nenhum defeituoso: paga R$20,00
  • 1 ou 2 defeituosos: paga R$10,00
  • 3 ou mais defeituosos: paga R$8,00
Nosso objetivo é descobrir qual é o valor médio que o comprador vai pagar, ou seja, o preço esperado dessa venda. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de probabilidade combinatória, especificamente a Distribuição Hipergeométrica, que é útil quando estamos lidando com amostras sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantos parafusos são defeituosos e quantos são não defeituosos na caixa. Sabemos que 8% de 50 parafusos são defeituosos:
Parafusos defeituosos = 0,08 times 50 = 4
Então, temos 4 parafusos defeituosos e 46 parafusos não defeituosos na caixa.

Passo 3

Agora, vamos entender a Distribuição Hipergeométrica. Essa distribuição nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (no nosso caso, parafusos defeituosos) em uma amostra tirada de um conjunto finito sem reposição.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
P(k) = dbinomDk times dbinomN - Dn - kdbinomNn
Onde:
  • $ D $ é o número total de itens defeituosos (4)
  • $ N $ é o número total de itens (50)
  • $ n $ é o tamanho da amostra (5)
  • $ k $ é o número de itens defeituosos que queremos na amostra (pode variar de 0 a 4)

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades para cada caso possível de $ k $ (número de defeituosos na amostra):
  1. Nenhum defeituoso ($ k = 0 $)
  2. Um defeituoso ($ k = 1 $)
  3. Dois defeituosos ($ k = 2 $)
  4. Três defeituosos ($ k = 3 $)
  5. Quatro defeituosos ($ k = 4 $)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Distribuição Hipergeométrica.

Passo 5

1. Probabilidade de nenhum defeituoso ($ k = 0 $):
k = 0
2. Probabilidade de um defeituoso ($ k = 1 $):
P(0) = dbinom40 times dbinom465dbinom505 = 1 times 1.370.7542.118.760 approx 0,647
3. Probabilidade de dois defeituosos ($ k = 2 $):
k = 1
4. Probabilidade de três defeituosos ($ k = 3 $):
P(1) = dbinom41 times dbinom464dbinom505 = 4 times 178.3652.118.760 approx 0,336
5. Probabilidade de quatro defeituosos ($ k = 4 $):
k = 2

Passo 6

Agora que temos todas as probabilidades, vamos associar cada uma ao valor que o comprador paga e calcular o valor esperado (média).
Valor Esperado = 20 times P(0) + 10 times (P(1) + P(2)) + 8 times (P(3) + P(4))
Substituindo os valores:
Valor Esperado = 20 times 0,647 + 10 times (0,336 + 0,043) + 8 times (0,002 + 0,00002)
Valor Esperado = 12,94 + 10 times 0,379 + 8 times 0,00202
Valor Esperado = 12,94 + 3,79 + 0,01616 approx 16,75

Resposta

O valor médio do preço de venda é aproximadamente R$16,75.

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