Determinada tipo de parafuso é vendido em caixas de 50 unidades. É uma característica da fabricação produzir uma proporção de 0,08 defeituosos. O fabricante decide adotar o seguinte esquema de vendas: o comprador escolhe aleatoriamente, sem reposição, 5 unidades. Se a amostra tiver nenhum defeituoso, ele paga 20,
ou 2 defeitos ele paga
ou mais ele paga 8,00. Qual o valor médio do preço de venda?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma caixa com 50 parafusos, dos quais 8% são defeituosos. O comprador vai escolher 5 parafusos de forma aleatória e sem reposição. Dependendo de quantos defeituosos ele pegar nessa amostra de 5, o preço que ele paga muda:
- Nenhum defeituoso: paga R$20,00
- 1 ou 2 defeituosos: paga R$10,00
- 3 ou mais defeituosos: paga R$8,00
Nosso objetivo é descobrir qual é o valor médio que o comprador vai pagar, ou seja, o preço esperado dessa venda. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de probabilidade combinatória, especificamente a Distribuição Hipergeométrica, que é útil quando estamos lidando com amostras sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantos parafusos são defeituosos e quantos são não defeituosos na caixa. Sabemos que 8% de 50 parafusos são defeituosos:
Então, temos 4 parafusos defeituosos e 46 parafusos não defeituosos na caixa.
Passo 3
Agora, vamos entender a Distribuição Hipergeométrica. Essa distribuição nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (no nosso caso, parafusos defeituosos) em uma amostra tirada de um conjunto finito sem reposição.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Onde:
- $ D $ é o número total de itens defeituosos (4)
- $ N $ é o número total de itens (50)
- $ n $ é o tamanho da amostra (5)
- $ k $ é o número de itens defeituosos que queremos na amostra (pode variar de 0 a 4)
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades para cada caso possível de $ k $ (número de defeituosos na amostra):
- Nenhum defeituoso ($ k = 0 $)
- Um defeituoso ($ k = 1 $)
- Dois defeituosos ($ k = 2 $)
- Três defeituosos ($ k = 3 $)
- Quatro defeituosos ($ k = 4 $)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Distribuição Hipergeométrica.
Passo 5
1. Probabilidade de nenhum defeituoso ($ k = 0 $):
2. Probabilidade de um defeituoso ($ k = 1 $):
3. Probabilidade de dois defeituosos ($ k = 2 $):
4. Probabilidade de três defeituosos ($ k = 3 $):
5. Probabilidade de quatro defeituosos ($ k = 4 $):
Passo 6
Agora que temos todas as probabilidades, vamos associar cada uma ao valor que o comprador paga e calcular o valor esperado (média).
Substituindo os valores:
Resposta
O valor médio do preço de venda é aproximadamente R$16,75.