Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int(x \sqrt[4]{x}+\operatorname{sec} x \operatorname{tg} x) d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\!\bigl(x\sqrt[4]{x}+\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\bigr)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é a soma de dois termos: x\sqrt[4]{x} e \operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\sqrt[4]{x}+\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x.

Passo 2

Reescrever o integrando em potências e esclarecer notação:
  • A raiz quarta pode ser escrita como potência: \sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
  • Portanto o primeiro termo fica
x\sqrt[4]{x}=x\cdot x^{1/4}=x^{1+1/4}=x^{5/4}.
  • Sobre a função trigonométrica: \operatorname{tg} x significa a tangente, isto é, \operatorname{tg} x=\tan x.
Assim a integral é
\int\!\bigl(x^{5/4}+\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\bigr)\,dx.

Passo 3

Usar linearidade da integral (propriedade fundamental):
  • Regra: para funções f e g,
\int\!(f+g)\,dx=\int\!f\,dx+\int\!g\,dx.
  • Aplicando aqui:
\int\!\bigl(x^{5/4}+\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\bigr)\,dx = \int\!x^{5/4}\,dx+\int\!\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\,dx.

Passo 4

Calcular \int\!x^{5/4}\,dx usando a regra da potência:
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int\!x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=\tfrac{5}{4}. Então
n+1=\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}.
  • Aplicando a regra:
\int\!x^{5/4}\,dx=\frac{x^{9/4}}{9/4}=\frac{4}{9}\,x^{9/4}.
(Explicação rápida: dividir por 9/4 é o mesmo que multiplicar por 4/9.)

Passo 5

Calcular \int\!\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\,dx reconhecendo derivada conhecida:
  • Lembrar que a derivada de \operatorname{sec} x é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\,\tan x.
  • Usando \operatorname{tg} x=\tan x, o integrando \operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x é exatamente a derivada de \operatorname{sec} x.
  • Logo uma primitiva é
\int\!\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\,dx=\operatorname{sec} x.

Passo 6

Somar as primitivas encontradas e acrescentar a constante de integração:
\int\!\bigl(x^{5/4}+\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\bigr)\,dx = \frac{4}{9}\,x^{9/4}+\operatorname{sec} x + C,
onde C é constante real arbitrária.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciando a primitiva para conferir):
  • Diferenciando \frac{4}{9}x^{9/4} obtém-se
\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}x^{9/4-1}=x^{5/4}.
  • Diferenciando \operatorname{sec} x obtém-se \operatorname{sec} x\,\tan x=\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x.
  • Soma das derivadas dá exatamente o integrando original, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{4}{9}x^{9/4}+\operatorname{sec} x + C

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