Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
;
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é a soma de dois termos:
e . - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Reescrever o integrando em potências e esclarecer notação:
- A raiz quarta pode ser escrita como potência:
. - Portanto o primeiro termo fica
- Sobre a função trigonométrica:
significa a tangente, isto é, .
Assim a integral é
Passo 3
Usar linearidade da integral (propriedade fundamental):
- Regra: para funções
e ,
- Aplicando aqui:
Passo 4
Calcular
usando a regra da potência:
- Regra da potência: para
,
- Aqui
. Então
- Aplicando a regra:
(Explicação rápida: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
.)
Passo 5
Calcular
reconhecendo derivada conhecida:
- Lembrar que a derivada de
é
- Usando
, o integrando é exatamente a derivada de . - Logo uma primitiva é
Passo 6
Somar as primitivas encontradas e acrescentar a constante de integração:
onde
é constante real arbitrária.
Passo 7
Verificação rápida (diferenciando a primitiva para conferir):
- Diferenciando
obtém-se
- Diferenciando
obtém-se . - Soma das derivadas dá exatamente o integrando original, confirmando que a primitiva está correta.