Calcule a integral tripla explicitada em cada item a seguir.
, onde
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a integral tripla
.
Informações fornecidas sobre a região
:
-
. -
. -
.
Pergunta única:
- Qual é o valor numérico de
?
Passo 2
Interpretação das desigualdades que definem
(observação necessária antes de montar a integral):
- A condição
exige que seja pelo menos e no máximo . - Se
não existe com . Portanto, embora o enunciado escreva , na prática só pode variar até .
Conclusão sobre os intervalos efetivos: -
. - Para cada
fixo, . - Para cada
fixo, .
Passo 3
Montagem da integral iterada usando a ordem
(a ordem é natural porque os limites estão dados em função parcial):
Passo 4
Integração na variável
primeiro. Aqui
e
são tratados como constantes ao integrar em
:
Explicação curta: a integral de uma constante
em
é
, avaliada entre
e
.
Passo 5
Agora a integral reduzida em
e
fica
Integramos em
mantendo
constante:
Explicação:
. Multiplica-se por
(que é constante em relação a
).
Passo 6
Agora resta a integral em
:
Calcule termo a termo:
Subtraindo:
Passo 7
Verificação rápida (sanidade): integrando primeiro em
e
usamos que
não depende dessas variáveis, o que simplificou muito os cálculos; o resultado
é compatível com integrais de funções positivas sobre uma região de volume finito.