Calcule a integral tripla explicitada em cada item a seguir.
\iiint_{E} 2 x d V, onde
E=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 2, x \leq y \leq 1,0 \leq z \leq y\}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{E} 2x\,dV.
Informações fornecidas sobre a região E:
  • \;0 \leq x \leq 2.
  • \;x \leq y \leq 1.
  • \;0 \leq z \leq y.
Pergunta única:
  • Qual é o valor numérico de \displaystyle \iiint_{E} 2x\,dV?

Passo 2

Interpretação das desigualdades que definem E (observação necessária antes de montar a integral):
  • A condição \;x \leq y \leq 1 exige que y seja pelo menos x e no máximo 1.
  • Se x>1 não existe y com x\le y\le1. Portanto, embora o enunciado escreva 0\le x\le2, na prática x só pode variar até 1.
    Conclusão sobre os intervalos efetivos:
  • \;0 \leq x \leq 1.
  • Para cada x fixo, \;x \leq y \leq 1.
  • Para cada y fixo, \;0 \leq z \leq y.

Passo 3

Montagem da integral iterada usando a ordem \;dz\,dy\,dx (a ordem é natural porque os limites estão dados em função parcial):
\iiint_{E} 2x\,dV \;=\; \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x}^{1}\!\int_{z=0}^{y} 2x \,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integração na variável z primeiro. Aqui x e y são tratados como constantes ao integrar em z:
\int_{z=0}^{y} 2x \,dz \;=\; 2x\big[z\big]_{0}^{y} \;=\; 2x\,y.
Explicação curta: a integral de uma constante 2x em z é 2x\cdot z, avaliada entre 0 e y.

Passo 5

Agora a integral reduzida em y e x fica
\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x}^{1} 2x\,y \,dy\,dx.
Integramos em y mantendo x constante:
\int_{y=x}^{1} 2x\,y \,dy \;=\; 2x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x}^{y=1} \;=\; 2x\cdot\frac{1- x^{2}}{2} \;=\; x(1-x^{2}).
Explicação: \int y\,dy = \tfrac{y^{2}}{2}. Multiplica-se por 2x (que é constante em relação a y).

Passo 6

Agora resta a integral em x:
\int_{0}^{1} x(1-x^{2})\,dx \;=\; \int_{0}^{1} (x - x^{3})\,dx.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\tfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} (x - x^{3})\,dx = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Verificação rápida (sanidade): integrando primeiro em z e y usamos que 2x não depende dessas variáveis, o que simplificou muito os cálculos; o resultado \tfrac{1}{4} é compatível com integrais de funções positivas sobre uma região de volume finito.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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