Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int(4 x-5)(x-9) d x;

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int(4x-5)(x-9)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é o produto de dois polinômios lineares (4x-5) e (x-9).
  • A resposta pedida é uma primitiva dessa função, isto é, uma expressão cujo derivada é (4x-5)(x-9), acrescida da constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: expandir o produto e integrar termo a termo.
Por que escolhi isso? Porque o integrando é um polinômio (produto de três termos no total após expansão) e para polinômios a forma mais direta e segura é desenvolver (multiplicar) e depois aplicar a regra do “power rule” termo a termo. Esse método é simples, rápido em prova e evita passos extras.

Passo 3

Expandir o produto passo a passo (multiplicação de polinômios):
(4x-5)(x-9)=4x\cdot x + 4x\cdot(-9) -5\cdot x -5\cdot(-9).
Calculando cada termo:
4x\cdot x = 4x^{2},\qquad 4x\cdot(-9)=-36x,\qquad -5\cdot x = -5x,\qquad -5\cdot(-9)=45.
Somando:
(4x-5)(x-9)=4x^{2}-36x-5x+45=4x^{2}-41x+45.

Passo 4

Relembrando as regras de integração que vamos usar:
  • Linearidade: \displaystyle \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  • Regra do poder (power rule): \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, para n\neq -1. Aqui n é um número real (no nosso caso inteiros) e C é a constante de integração.
  • Integral de constante: \displaystyle \int k\,dx = kx + C, onde k é constante.

Passo 5

Aplicar a integração termo a termo ao polinômio obtido:
\int(4x^{2}-41x+45)\,dx = \int 4x^{2}\,dx - \int 41x\,dx + \int 45\,dx.
Usando as regras:
  • \displaystyle \int 4x^{2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{4}{3}x^{3}.
  • \displaystyle \int 41x\,dx = 41\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{41}{2}x^{2}. Como o termo original é subtraído, fica -\frac{41}{2}x^{2}.
  • \displaystyle \int 45\,dx = 45x.

Passo 6

Juntando os resultados e adicionando a constante de integração C:
\int(4x-5)(x-9)\,dx = \frac{4}{3}x^{3} - \frac{41}{2}x^{2} + 45x + C.

Passo 7

(Verificação rápida — bom hábito em prova) Diferenciando a primitiva encontrada para checar:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{3}x^{3} - \frac{41}{2}x^{2} + 45x + C\right) = 4x^{2} - 41x + 45,
que é exatamente o integrando expandido, logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}x^{3}-\frac{41}{2}x^{2}+45x+C

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