Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
;
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é o produto de dois polinômios lineares
e . - A resposta pedida é uma primitiva dessa função, isto é, uma expressão cujo derivada é
, acrescida da constante de integração .
Passo 2
Escolha do método: expandir o produto e integrar termo a termo.
Por que escolhi isso? Porque o integrando é um polinômio (produto de três termos no total após expansão) e para polinômios a forma mais direta e segura é desenvolver (multiplicar) e depois aplicar a regra do “power rule” termo a termo. Esse método é simples, rápido em prova e evita passos extras.
Por que escolhi isso? Porque o integrando é um polinômio (produto de três termos no total após expansão) e para polinômios a forma mais direta e segura é desenvolver (multiplicar) e depois aplicar a regra do “power rule” termo a termo. Esse método é simples, rápido em prova e evita passos extras.
Passo 3
Expandir o produto passo a passo (multiplicação de polinômios):
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 4
Relembrando as regras de integração que vamos usar:
- Linearidade:
, onde são constantes. - Regra do poder (power rule):
, para . Aqui é um número real (no nosso caso inteiros) e é a constante de integração. - Integral de constante:
, onde é constante.
Passo 5
Aplicar a integração termo a termo ao polinômio obtido:
Usando as regras:
-
-
Como o termo original é subtraído, fica . -
Passo 6
Juntando os resultados e adicionando a constante de integração
:
Passo 7
(Verificação rápida — bom hábito em prova) Diferenciando a primitiva encontrada para checar:
que é exatamente o integrando expandido, logo a primitiva está correta.