Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int(x+\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[6]{x}) d x;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int\!\bigl(x+\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[6]{x}\bigr)\,dx.
Informações dadas (explicitadas):
  • A integranda é a soma de quatro termos: x, \sqrt{x}, \sqrt[4]{x} e \sqrt[6]{x}.
  • As raízes indicam que estamos usando as raízes principais, portanto os expoentes são positivos fracionários; os termos estão bem definidos para x\ge 0 (para antiderivadas geralmente consideramos x>0 quando escrevemos potências fracionárias).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da soma e apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever cada radical como potência de x (isso facilita aplicar a regra de potência).
  • \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • \sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
  • \sqrt[6]{x}=x^{1/6}.
Assim a integral fica
\int\!\bigl(x + x^{1/2} + x^{1/4} + x^{1/6}\bigr)\,dx.

Passo 3

Vou lembrar duas propriedades fundamentais que vou usar (explicando como e por quê):
  1. Linearidade da integral:
\int\!(f(x)+g(x))\,dx = \int\!f(x)\,dx + \int\!g(x)\,dx,
ou seja, posso integrar termo a termo. Isso vale para soma de quantos termos forem, e também posso puxar constantes para fora da integral.
  1. Regra da potência (fórmula central aqui):
    Se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação rápida do que cada coisa significa:
  • x^{n} é uma potência de x com expoente n.
  • n+1 é o novo expoente depois de integrar.
  • A divisão por n+1 garante que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, volte-se a obter x^n (pela regra da derivação de potência).
  • A condição n\neq -1 evita divisão por zero; o caso n=-1 corresponde à integral de 1/x, que dá \ln|x|.
Essas duas propriedades juntas nos permitem integrar cada termo x^{n} separadamente.

Passo 4

Aplicando linearidade, escrevo a integral como soma de quatro integrais simples:
\int\!x\,dx + \int\!x^{1/2}\,dx + \int\!x^{1/4}\,dx + \int\!x^{1/6}\,dx.
Agora vou aplicar a regra da potência em cada termo, identificando o expoente n correspondente.

Passo 5

Integrando termo a termo:
  1. Para o termo x: aqui n=1. Pela regra da potência,
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
  1. Para o termo x^{1/2}: aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2}.
Simplificando a fração \dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}, obtemos
\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.
  1. Para o termo x^{1/4}: aqui n=\tfrac{1}{4}. Então
\int x^{1/4}\,dx = \frac{x^{1/4+1}}{1/4+1} = \frac{x^{5/4}}{5/4}.
Simplificando \dfrac{1}{5/4}=\dfrac{4}{5}, fica
\int x^{1/4}\,dx = \frac{4}{5}\,x^{5/4}.
  1. Para o termo x^{1/6}: aqui n=\tfrac{1}{6}. Então
\int x^{1/6}\,dx = \frac{x^{1/6+1}}{1/6+1} = \frac{x^{7/6}}{7/6}.
Simplificando \dfrac{1}{7/6}=\dfrac{6}{7}, fica
\int x^{1/6}\,dx = \frac{6}{7}\,x^{7/6}.

Passo 6

Somando todas as primitivas parciais e acrescentando a constante de integração C, a antiderivada geral da integranda é
\frac{x^{2}}{2}+\frac{2}{3}\,x^{3/2}+\frac{4}{5}\,x^{5/4}+\frac{6}{7}\,x^{7/6}+C.
Observação prática: essa expressão é válida para x>0 (onde as potências fracionárias estão bem definidas no sentido principal). Para usos em que se permite escrita com valores absolutos, não é necessário aqui porque os expoentes são racionais com denominadores pares — mantemos a convenção de raízes principais e domínio x\ge 0.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{2}{3}\,x^{3/2}+\frac{4}{5}\,x^{5/4}+\frac{6}{7}\,x^{7/6}+C

Exercícios relacionados