Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
;
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas (explicitadas):
- A integranda é a soma de quatro termos:
, , e . - As raízes indicam que estamos usando as raízes principais, portanto os expoentes são positivos fracionários; os termos estão bem definidos para
(para antiderivadas geralmente consideramos quando escrevemos potências fracionárias). - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da soma e apresentar a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever cada radical como potência de
(isso facilita aplicar a regra de potência).
-
. -
. -
.
Assim a integral fica
Passo 3
Vou lembrar duas propriedades fundamentais que vou usar (explicando como e por quê):
- Linearidade da integral:
ou seja, posso integrar termo a termo. Isso vale para soma de quantos termos forem, e também posso puxar constantes para fora da integral.
- Regra da potência (fórmula central aqui):
Se, então
Explicação rápida do que cada coisa significa:
-
é uma potência de com expoente . -
é o novo expoente depois de integrar. - A divisão por
garante que, ao derivar , volte-se a obter (pela regra da derivação de potência). - A condição
evita divisão por zero; o caso corresponde à integral de , que dá .
Essas duas propriedades juntas nos permitem integrar cada termo
separadamente.
Passo 4
Aplicando linearidade, escrevo a integral como soma de quatro integrais simples:
Agora vou aplicar a regra da potência em cada termo, identificando o expoente
correspondente.
Passo 5
Integrando termo a termo:
- Para o termo
: aqui . Pela regra da potência,
- Para o termo
: aqui . Então
Simplificando a fração
, obtemos
- Para o termo
: aqui . Então
Simplificando
, fica
- Para o termo
: aqui . Então
Simplificando
, fica
Passo 6
Somando todas as primitivas parciais e acrescentando a constante de integração
, a antiderivada geral da integranda é
Observação prática: essa expressão é válida para
(onde as potências fracionárias estão bem definidas no sentido principal). Para usos em que se permite escrita com valores absolutos, não é necessário aqui porque os expoentes são racionais com denominadores pares — mantemos a convenção de raízes principais e domínio
.