Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{3 d x}{\sqrt{1+x^{2}}};

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Informações relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • Há uma constante multiplicativa 3 na frente da integral.
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} multiplicado por 3.
    A primeira ação útil é lembrar a propriedade de fator constante da integral: constantes podem ser puxadas para fora da integral.

Passo 2

Aplicando a propriedade do fator constante:
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+x^{2}}}=3\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Agora precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}. Vou lembrar uma primitiva conhecida e depois demonstrar por que ela funciona.

Passo 3

Uma primitiva conhecida é a função arco seno hiperbólico (arsinh), definida por
\operatorname{arsinh}(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{1+x^{2}}\big).
A propriedade que usaremos é
\frac{d}{dx}\,\operatorname{arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Vamos demonstrar essa igualdade diferenciando a forma em logaritmo. Defina
u(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}.
Então \operatorname{arsinh}(x)=\ln(u(x)). Pela regra da cadeia e da derivada do logaritmo,
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Calculando u'(x):
u'(x)=1+\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot 2x =1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Portanto
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador no numerador:
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}+x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Isso mostra que
\frac{d}{dx}\ln\!\big(x+\sqrt{1+x^{2}}\big)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}},
ou seja, a primitiva está correta.

Passo 4

Voltando à integral com o fator 3:
3\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}=3\operatorname{arsinh}(x)+C,
onde C é a constante de integração. Usando a expressão em logaritmo para \operatorname{arsinh}, uma forma equivalente da primitiva é
3\ln\!\big(x+\sqrt{1+x^{2}}\big)+C.
Ambas as formas são corretas e equivalentes.

Resposta

3\operatorname{arsinh}(x)+C
3\ln\!\big(x+\sqrt{1+x^{2}}\big)+C

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