Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
;
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações relevantes:
- A variável de integração é
. - Há uma constante multiplicativa
na frente da integral. - O integrando é
multiplicado por .
A primeira ação útil é lembrar a propriedade de fator constante da integral: constantes podem ser puxadas para fora da integral.
Passo 2
Aplicando a propriedade do fator constante:
Agora precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Vou lembrar uma primitiva conhecida e depois demonstrar por que ela funciona.
Passo 3
Uma primitiva conhecida é a função arco seno hiperbólico (arsinh), definida por
A propriedade que usaremos é
Vamos demonstrar essa igualdade diferenciando a forma em logaritmo. Defina
Então
. Pela regra da cadeia e da derivada do logaritmo,
Calculando
:
Portanto
Colocando tudo sobre o mesmo denominador no numerador:
Isso mostra que
ou seja, a primitiva está correta.
Passo 4
Voltando à integral com o fator
:
onde
é a constante de integração. Usando a expressão em logaritmo para
, uma forma equivalente da primitiva é
Ambas as formas são corretas e equivalentes.