Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{x^{4}};

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{4}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é x elevada a uma potência negativa (já que \dfrac{1}{x^{4}}=x^{-4}).
  • Trata-se de uma integral indefinida, logo a resposta terá uma constante de integração C.
  • O domínio natural da função é x\neq 0.

Passo 2

Reescrevo a integranda usando expoente negativo para facilitar a aplicação das fórmulas conhecidas:
\int \frac{dx}{x^{4}} = \int x^{-4}\,dx.

Passo 3

Lembrete (fórmula que vou usar): para qualquer número real n diferente de -1 vale a regra da potência para integrais
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Por que isso é verdade? Porque, se derivarmos o lado direito:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1}\cdot (n+1)x^{n} = x^{n},
logo a primitiva está correta (a constante C aparece porque primitiva é definida a menos de constante).

Passo 4

Agora aplico a fórmula com n=-4. Como n\neq -1, posso usar a regra:
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C.

Passo 5

Simplifico a expressão para uma forma mais comum:
\frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3}x^{-3} + C = -\frac{1}{3x^{3}} + C.

Passo 6

Cheque rápido (verificação): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{3x^{3}} + C\right) = -\frac{1}{3}\cdot(-3)x^{-4} = x^{-4} = \frac{1}{x^{4}},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{3x^{3}} + C

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