Determine a função f tal que \int f(x) d x=\operatorname{sen} x+\operatorname{tg} x+c.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função f tal que
\int f(x)\,dx=\operatorname{sen}x+\operatorname{tg}x+c.
Informações relevantes dadas:
  • A primitiva (antiderivada) de f é F(x)=\operatorname{sen}x+\operatorname{tg}x+c.
  • c é constante (constante de integração).
    A pergunta é: qual é a função f(x) que, derivando-a, dá a função acima como primitiva?

Passo 2

Fato fundamental que vamos usar (regra da antiderivada/derivada): se
\int f(x)\,dx=F(x)+C,
então, em qualquer intervalo onde tudo esteja definido,
f(x)=F'(x).
Ou seja, para encontrar f basta derivar a primitiva dada.

Passo 3

Aplicando a regra soma de derivadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Assim
f(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x+\operatorname{tg}x+c\big) =\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)+\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}x\big)+\frac{d}{dx}\text{(c)}.

Passo 4

Derivada de \operatorname{sen}x. É uma fórmula básica de derivação:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)=\cos x.
Breve justificativa: pela definição do limite do quociente incremental e limites trigonométricos fundamentais chega‑se a este resultado; aqui usamos-o como identidade conhecida e fundamental.

Passo 5

Derivada de \operatorname{tg}x. Primeiro lembrar que
\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Usamos a regra do quociente: se u(x)=\sin x e v(x)=\cos x, então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aplicando:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}x\big) =\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(- \sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}x\big)=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Derivada da constante: \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0.

Passo 7

Somando os resultados das derivadas:
f(x)=\cos x+\operatorname{sec}^{2}x+0=\cos x+\operatorname{sec}^{2}x.
Observação sobre domínio: como a primitiva dada contém \operatorname{tg}x, a igualdade faz sentido em intervalos onde \cos x\neq 0. Portanto a expressão encontrada é válida nesses intervalos.

Resposta

f(x)=\cos x+\operatorname{sec}^{2}x

Exercícios relacionados