Determine a função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função
tal que
Informações relevantes dadas:
- A primitiva (antiderivada) de
é . -
é constante (constante de integração).
A pergunta é: qual é a funçãoque, derivando-a, dá a função acima como primitiva?
Passo 2
Fato fundamental que vamos usar (regra da antiderivada/derivada): se
então, em qualquer intervalo onde tudo esteja definido,
Ou seja, para encontrar
basta derivar a primitiva dada.
Passo 3
Aplicando a regra soma de derivadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Assim
Passo 4
Derivada de
. É uma fórmula básica de derivação:
Breve justificativa: pela definição do limite do quociente incremental e limites trigonométricos fundamentais chega‑se a este resultado; aqui usamos-o como identidade conhecida e fundamental.
Passo 5
Derivada de
. Primeiro lembrar que
Usamos a regra do quociente: se
e
, então
Aplicando:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Passo 6
Derivada da constante:
.
Passo 7
Somando os resultados das derivadas:
Observação sobre domínio: como a primitiva dada contém
, a igualdade faz sentido em intervalos onde
. Portanto a expressão encontrada é válida nesses intervalos.