Baseados no número de vazios, uma placa de ferrita é classificada como alta, média ou baixa. Historicamente, das placas são classificadas como altas, como médias e como baixas. Uma amostra de 20 placas é seleccionado para teste. Faça e denotarem o número de placas que são classificadas, independentemente, como altas, médias e baixas, respectivamente.
(b) Determine o vetor de médias e matriz de correlação de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 20 placas de ferrita que são classificadas como altas, médias ou baixas, com probabilidades históricas de 5%, 80% e 15%, respectivamente. Queremos determinar o vetor de médias e a matriz de correlação para as variáveis , e , que representam o número de placas classificadas como altas, médias e baixas.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Distribuição Multinomial, que é usada quando temos mais de duas categorias possíveis em um experimento com repetições independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o vetor de médias. Em uma distribuição multinomial, a média de cada variável aleatória é dada por:
Onde:
é o número total de experimentos (neste caso, 20 placas).
é a probabilidade de sucesso na categoria .
Então, para cada classificação:
Passo 3
Agora, vamos calcular a matriz de correlação. A correlação entre duas variáveis e na distribuição multinomial é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar a covariância entre e :
E a variância de cada :
Vamos calcular cada uma delas:
Variâncias:
Covariâncias:
Passo 4
Com as variâncias e covariâncias calculadas, agora podemos montar a matriz de covariância:
[
\mathbf{Cov}(\mathbf{X}) =
]
Passo 5
Agora, para obter a matriz de correlação, precisamos normalizar a matriz de covariância dividindo cada elemento Corr(Xi, Xj) = Cov(Xi, Xj)raizVar(Xi) cdot Var(Xj) pela raiz do produto das variâncias de Corr(X1, X2) = -0.8raiz0.95 cdot 3.2 approx -0.8raiz3.04 approx -0.81.744 approx -0.46 e Corr(X1, X3) = -0.15raiz0.95 cdot 2.55 approx -0.15raiz2.4225 approx -0.151.556 approx -0.096 :