Baseados no número de vazios, uma placa de ferrita é classificada como alta, média ou baixa. Historicamente, 5 % das placas são classificadas como altas, 80 % como médias e 15 % como baixas. Uma amostra de 20 placas é seleccionado para teste. Faça X1, X2 e X3 denotarem o número de placas que são classificadas, independentemente, como altas, médias e baixas, respectivamente.
(b) Determine o vetor de médias e matriz de correlação de X=(X1, X2, X3).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 20 placas de ferrita que são classificadas como altas, médias ou baixas, com probabilidades históricas de 5%, 80% e 15%, respectivamente. Queremos determinar o vetor de médias e a matriz de correlação para as variáveis , e , que representam o número de placas classificadas como altas, médias e baixas.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Distribuição Multinomial, que é usada quando temos mais de duas categorias possíveis em um experimento com repetições independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o vetor de médias. Em uma distribuição multinomial, a média de cada variável aleatória E[Xi] = n cdot pi é dada por:
Onde:
  • é o número total de experimentos (neste caso, 20 placas).
  • é a probabilidade de sucesso na categoria .
Então, para cada classificação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz de correlação. A correlação entre duas variáveis Corr(Xi, Xj) = Cov(Xi, Xj)raizVar(Xi) cdot Var(Xj) e Cov(Xi, Xj) = -n cdot pi cdot pj para i neq j na distribuição multinomial é dada por:
Var(Xi) = n cdot pi cdot (1 - pi)
Primeiro, precisamos encontrar a covariância entre e :
E a variância de cada :
Vamos calcular cada uma delas:
  • Variâncias:
  • Covariâncias:

Passo 4

Com as variâncias e covariâncias calculadas, agora podemos montar a matriz de covariância:

[
\mathbf{Cov}(\mathbf{X}) =
Cov(X) = Var(X1) & Cov(X1, X2) & Cov(X1, X3) Cov(X2, X1) & Var(X2) & Cov(X2, X3) Cov(X3, X1) & Cov(X3, X2) & Var(X3) = 0.95 & -0.8 & -0.15 -0.8 & 3.2 & -2.4 -0.15 & -2.4 & 2.55


]

Passo 5

Agora, para obter a matriz de correlação, precisamos normalizar a matriz de covariância dividindo cada elemento Corr(Xi, Xj) = Cov(Xi, Xj)raizVar(Xi) cdot Var(Xj) pela raiz do produto das variâncias de Corr(X1, X2) = -0.8raiz0.95 cdot 3.2 approx -0.8raiz3.04 approx -0.81.744 approx -0.46 e Corr(X1, X3) = -0.15raiz0.95 cdot 2.55 approx -0.15raiz2.4225 approx -0.151.556 approx -0.096 :
Corr(X2, X3) = -2.4raiz3.2 cdot 2.55 approx -2.4raiz8.16 approx -2.42.86 approx -0.84
Vamos calcular cada coeficiente de correlação:
  • Correlação entre e :
  • Correlação entre e :
  • Correlação entre e :

Resposta

O vetor de médias é 1 16 3 e a matriz de correlação é:
Corr(X) = 1 & -0.46 & -0.096 -0.46 & 1 & -0.84 -0.096 & -0.84 & 1

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