Suponha que a demanda diária
e
de duas peças (A e B), pode ser considerado como uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade conjunta
(a) Determine o valor de
, para que
seja f.p conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas peças, A e B, cuja demanda diária são representadas pelas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. A função de probabilidade conjunta $ f(x, y) $ é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ k $ que faz com que $ f(x, y) $ seja uma função de probabilidade válida para $ X $ e $ Y $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de probabilidade conjuntas e como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que para $ f(x, y) $ ser uma função de probabilidade conjunta válida, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Ou seja:
Isso garante que todas as possibilidades consideradas somam exatamente a certeza total.
Passo 3
Vamos substituir a expressão de $ f(x, y) $ na equação acima:
Como $ k $ é uma constante, podemos fatorá-la para fora das somas:
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma interna $ \sum_{y=1}^{3} (3x + 2y - 4) $ para cada valor de $ x $.
Para $ x = 1 $:
Calculando para cada $ y $:
- $ y = 1 $: $ 2(1) - 1 = 1 $
- $ y = 2 $: $ 2(2) - 1 = 3 $
- $ y = 3 $: $ 2(3) - 1 = 5 $
Somando: $ 1 + 3 + 5 = 9 $
Para $ x = 2 $:
Calculando para cada $ y $:
- $ y = 1 $: $ 2(1) + 2 = 4 $
- $ y = 2 $: $ 2(2) + 2 = 6 $
- $ y = 3 $: $ 2(3) + 2 = 8 $
Somando: $ 4 + 6 + 8 = 18 $
Para $ x = 3 $:
Calculando para cada $ y $:
- $ y = 1 $: $ 2(1) + 5 = 7 $
- $ y = 2 $: $ 2(2) + 5 = 9 $
- $ y = 3 $: $ 2(3) + 5 = 11 $
Somando: $ 7 + 9 + 11 = 27 $
Passo 5
Agora, vamos somar os resultados obtidos para cada valor de $ x $:
Então, temos:
Passo 6
Para encontrar $ k $, basta isolar a variável na equação:
Resposta
O valor de $ k $ que torna $ f(x, y) $ uma função de probabilidade conjunta válida é: