Suponha que a demanda diária X e Y de duas peças (A e B), pode ser considerado como uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade conjunta
f(x, y)= k(3 x+2 y-4), & se x, y=1,2,3 0, & c c
(a) Determine o valor de k, para que f(x, y) seja f.p conjunta de X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas peças, A e B, cuja demanda diária são representadas pelas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. A função de probabilidade conjunta $ f(x, y) $ é dada por:
X
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ k $ que faz com que $ f(x, y) $ seja uma função de probabilidade válida para $ X $ e $ Y $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de probabilidade conjuntas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que para $ f(x, y) $ ser uma função de probabilidade conjunta válida, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Ou seja:
f(x, y)
Isso garante que todas as possibilidades consideradas somam exatamente a certeza total.

Passo 3

Vamos substituir a expressão de $ f(x, y) $ na equação acima:
f(x, y)
Como $ k $ é uma constante, podemos fatorá-la para fora das somas:
sumx=1^3 sumy=1^3 k(3x + 2y - 4) = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma interna $ \sum_{y=1}^{3} (3x + 2y - 4) $ para cada valor de $ x $.
Para $ x = 1 $:
sumy=1^3 (3x + 2y - 4)
Calculando para cada $ y $:
  • $ y = 1 $: $ 2(1) - 1 = 1 $
  • $ y = 2 $: $ 2(2) - 1 = 3 $
  • $ y = 3 $: $ 2(3) - 1 = 5 $
Somando: $ 1 + 3 + 5 = 9 $
Para $ x = 2 $:
x
Calculando para cada $ y $:
  • $ y = 1 $: $ 2(1) + 2 = 4 $
  • $ y = 2 $: $ 2(2) + 2 = 6 $
  • $ y = 3 $: $ 2(3) + 2 = 8 $
Somando: $ 4 + 6 + 8 = 18 $
Para $ x = 3 $:
x = 1
Calculando para cada $ y $:
  • $ y = 1 $: $ 2(1) + 5 = 7 $
  • $ y = 2 $: $ 2(2) + 5 = 9 $
  • $ y = 3 $: $ 2(3) + 5 = 11 $
Somando: $ 7 + 9 + 11 = 27 $

Passo 5

Agora, vamos somar os resultados obtidos para cada valor de $ x $:
x
Então, temos:
9 + 18 + 27 = 54

Passo 6

Para encontrar $ k $, basta isolar a variável na equação:
k

Resposta

O valor de $ k $ que torna $ f(x, y) $ uma função de probabilidade conjunta válida é:
k

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