Seja
um vetor aleatório bidimensional com função de distribuição conjunta,
onde
(b) Determine
.
(b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor aleatório bidimensional
com uma função de distribuição conjunta específica. A pergunta é para determinar a probabilidade de
estar entre 1 e 2 e
ser menor que 2, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição conjunta de probabilidades e funções de distribuição acumulada (CDF).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição conjunta
nos dá a probabilidade de
ser menor ou igual a
e
ser menor ou igual a
ao mesmo tempo. No nosso caso:
Passo 3
Para achar
, podemos reescrever essa probabilidade usando a função de distribuição acumulada:
Isso significa que a probabilidade desejada é a diferença entre a probabilidade de
e
e a probabilidade de
e
.
Passo 4
Vamos calcular
usando a fórmula dada:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Subtraindo
de
, temos:
Simplificando:
Resposta
A probabilidade
é dada por: