Seja (X, Y) um vetor aleatório bidimensional com função de distribuição conjunta,
FX, Y(x, y)= 1-e^-x-e^-y+e^-(x+y+de0, y>0 0, & cc
onde de0
(b) Determine P[1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor aleatório bidimensional (X, Y) com uma função de distribuição conjunta específica. A pergunta é para determinar a probabilidade de X estar entre 1 e 2 e Y ser menor que 2, ou seja, P[1 < X <= 2; Y < 2]. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição conjunta de probabilidades e funções de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição conjunta FX,Y(x, y) nos dá a probabilidade de X ser menor ou igual a x e Y ser menor ou igual a y ao mesmo tempo. No nosso caso:
FX,Y(x, y) = 1 - e^-x - e^-y + e^-(x + y + de 0 e y > 0 0, & caso contrário á

Passo 3

Para achar P[1 < X <= 2; Y < 2], podemos reescrever essa probabilidade usando a função de distribuição acumulada:
P[1 < X <= 2; Y < 2] = FX,Y(2, 2) - FX,Y(1, 2)
Isso significa que a probabilidade desejada é a diferença entre a probabilidade de X <= 2 e Y <= 2 e a probabilidade de X <= 1 e Y <= 2.

Passo 4

Vamos calcular FX,Y(2, 2) usando a fórmula dada:
FX,Y(2, 2) = 1 - e^-2 - e^-2 + e^-(2 + 2 + de

Passo 5

Agora, vamos calcular FX,Y(1, 2):
FX,Y(1, 2) = 1 - e^-1 - e^-2 + e^-(1 + 2 + de

Passo 6

Subtraindo FX,Y(1, 2) de FX,Y(2, 2), temos:
P[1 < X <= 2; Y < 2] = (1 - 2e^-2 + e^-(4 + 4de
Simplificando:
P = e^-1 - e^-2 + e^-(4 + 4de

Resposta

A probabilidade P[1 < X <= 2; Y < 2] é dada por:
P = e^-1 - e^-2 + e^-(4 + 4de

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