Baseando-se em seus conhecimentos sobre Mecânica Quântica, dê a definição de cada termo a seguir:
\Psi^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o termo \Psi^{2}.
Informações que temos do enunciado: apenas a notação \Psi^{2} e a indicação de usar conceitos de Mecânica Quântica. Não há outras condições (espaço, dimensão, se \Psi é real ou complexa).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é \Psi: \Psi(x,t) é a função de onda (no espaço de posição) que descreve o estado quântico de uma partícula. Essa função pode ser complexa em geral. Quando a gente vê \Psi^{2} aparecem duas interpretações possíveis:
  • interpretação estrita: \Psi^{2}(x,t) significa simplesmente \Psi(x,t)\cdot\Psi(x,t) (o quadrado da função), que pode ser complexo se \Psi for complexa;
  • interpretação física-abreviada comum: autores escrevem \Psi^{2} querendo dizer |\Psi|^{2}, o módulo quadrado da função de onda, que é sempre real e não-negativo e tem significado probabilístico. Vou explicar por que a segunda é a interpretação relevante fisicamente.

Passo 3

Regra de Born (a ideia central): o módulo quadrado da função de onda dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição. Formalmente definimos
\rho(x,t)=\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}=\Psi^{*}(x,t)\,\Psi(x,t),
onde \Psi^{*} é o complexo conjugado de \Psi. Aqui:
  • \rho(x,t) é a densidade de probabilidade (probabilidade por unidade de comprimento/área/volume, dependendo da dimensão);
  • \Psi(x,t) é a função de onda (complexa em geral);
  • \Psi^{*}(x,t) é o conjugado complexo de \Psi(x,t).
Se \Psi for real, então \lvert\Psi\rvert^{2}=\Psi^{2}. Se \Psi for complexa, \Psi^{2} não é apropriada como densidade de probabilidade (pode ser complexa).

Passo 4

Normalização: para que \rho seja uma distribuição de probabilidade válida, a função de onda deve ser normalizada:
\int_{-\infty}^{\infty}\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}\,dx = 1.
Isto significa que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. Se a integral não for 1, podemos definir uma constante N tal que N\Psi fique normalizada.

Passo 5

Interpretação prática (como usar na prova): para calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre a e b no tempo t,
P(a\le x\le b;\,t)=\int_{a}^{b}\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}\,dx.
Portanto, sempre que o enunciado pedir “probabilidade” ou “densidade de probabilidade” use \lvert\Psi\rvert^{2}, não \Psi^{2} salvo se estiver explícito que \Psi é real.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se \Psi(x)=A e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})} (Gaussiana real), então
\lvert\Psi(x)\rvert^{2}=A^{2} e^{-x^{2}/\sigma^{2}}.
Aqui \Psi^{2}=\lvert\Psi\rvert^{2} porque \Psi é real.
  • Se \Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} (onda plana), então
\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}=|A|^{2}, \qquad \Psi^{2}(x,t)=A^{2}e^{2i(kx-\omega t)}\\ (\text{complexo}),
logo \Psi^{2} não representa probabilidade, mas \lvert\Psi\rvert^{2} sim.

Passo 7

Outros pontos úteis para a prova (resumindo intuitivamente):
  • \lvert\Psi\rvert^{2} é real, não-negativo e integrável; é o que se usa para probabilidades.
  • \Psi^{2} sem barra costuma ser só notação abreviada em textos antigos ou quando \Psi é real; caso contrário é inválida como densidade de probabilidade.
  • A conservação de probabilidade aparece como a equação de continuidade envolvendo \rho=\lvert\Psi\rvert^{2} e a corrente de probabilidade j.

Passo 8

Dica prática e encorajamento: na prova, se aparecer \Psi^{2} verifique se \Psi foi informado como real; se não for, interprete corretamente como \lvert\Psi\rvert^{2} — escreva \lvert\Psi\rvert^{2}=\Psi^{*}\Psi e mostre a normalização e a integral de probabilidade. Isso evita erros bobos e te deixa tranquilo.

Resposta

\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}=\Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t) (densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x no tempo t; deve satisfazer \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}dx=1).

Exercícios relacionados