Um bastão de cobre (
) muito longo, com 6 mm de diâmetro tem sua base mantida a
. A superficie do bastão está exposta ao ar ambiente a
, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de
.K.
Qual o comprimento minimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita?
Qual o comprimento minimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um bastão de cobre (com condutividade térmica
) bem comprido, com 6 mm de diâmetro. A base do bastão está mantida a 120°C, e a superfície está exposta ao ar ambiente a 25°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 120 W/m²·K. A pergunta é: qual o comprimento mínimo do bastão para que possamos considerar que ele tem comprimento infinito?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor, aplicando a teoria de transferência de calor em regime permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a hipótese de comprimento infinito. Quando um bastão é considerado de comprimento infinito, assumimos que as condições de temperatura não variam ao longo do comprimento, ou seja, há simetria infinita. Para que isso seja válido, o comprimento do bastão deve ser suficientemente grande para que o fluxo de calor não seja afetado pelas extremidades.
Passo 3
Para encontrar o comprimento mínimo, vamos determinar a distância na qual o calor se dissipa do bastão para o ambiente de forma eficaz. Isso envolve balancear o calor conduzido ao longo do bastão com o calor perdido por convecção na superfície.
Passo 4
Vamos calcular a área da superfície do bastão. Primeiro, convertemos o diâmetro para metros:
O raio
é metade do diâmetro:
A área da superfície lateral de um cilindro é dada por:
Onde
é o comprimento do bastão.
Passo 5
O fluxo de calor por condução (
) ao longo do bastão pode ser expresso pela lei de Fourier:
Onde:
-
é a condutividade térmica, -
é a área da seção transversal (não a superfície), -
é a diferença de temperatura, -
é o comprimento.
Por outro lado, o fluxo de calor por convecção (
) na superfície é:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
é a área de superfície, -
é a diferença de temperatura.
Passo 6
Na condição de equilíbrio, o calor conduzido ao longo do bastão é igual ao calor perdido por convecção na superfície:
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar cancela
:
Passo 7
Agora, expressamos
e
em termos do raio
e do comprimento
:
Área da seção transversal:
Área da superfície lateral:
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Passo 10
Calculando os valores:
Resposta
O comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita é aproximadamente 0,0707 metros.