Um bastão de cobre ( k=400 W / m K ) muito longo, com 6 mm de diâmetro tem sua base mantida a 120^circ C. A superficie do bastão está exposta ao ar ambiente a 25^circ C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 120 W / m^2.K.
Qual o comprimento minimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um bastão de cobre (com condutividade térmica ) bem comprido, com 6 mm de diâmetro. A base do bastão está mantida a 120°C, e a superfície está exposta ao ar ambiente a 25°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 120 W/m²·K. A pergunta é: qual o comprimento mínimo do bastão para que possamos considerar que ele tem comprimento infinito?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor, aplicando a teoria de transferência de calor em regime permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a hipótese de comprimento infinito. Quando um bastão é considerado de comprimento infinito, assumimos que as condições de temperatura não variam ao longo do comprimento, ou seja, há simetria infinita. Para que isso seja válido, o comprimento do bastão deve ser suficientemente grande para que o fluxo de calor não seja afetado pelas extremidades.

Passo 3

Para encontrar o comprimento mínimo, vamos determinar a distância na qual o calor se dissipa do bastão para o ambiente de forma eficaz. Isso envolve balancear o calor conduzido ao longo do bastão com o calor perdido por convecção na superfície.

Passo 4

Vamos calcular a área da superfície do bastão. Primeiro, convertemos o diâmetro para metros:
d = 6 , mm = 0,006 , m
O raio r = d2 = 0,003 , m é metade do diâmetro:
A = 2 pi r L
A área da superfície lateral de um cilindro é dada por:
Onde é o comprimento do bastão.

Passo 5

O fluxo de calor por condução ( Qcond = k A De) ao longo do bastão pode ser expresso pela lei de Fourier:
Qconv = h As De
Onde:
  • é a condutividade térmica,
  • é a área da seção transversal (não a superfície),
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento.
Por outro lado, o fluxo de calor por convecção ( ) na superfície é:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a área de superfície,
  • é a diferença de temperatura.

Passo 6

Na condição de equilíbrio, o calor conduzido ao longo do bastão é igual ao calor perdido por convecção na superfície:
Qcond = Qconv
Substituindo as expressões:
k A De
Podemos simplificar cancela k AL = h As :

Passo 7

Agora, expressamos A = pi r^2 e As = 2 pi r L em termos do raio k pi r^2L = h cdot 2 pi r L e do comprimento :
Área da seção transversal:
Área da superfície lateral:
Substituindo na equação anterior:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
k r^2L = 2 h r L
Multiplicando ambos os lados por k r^2 = 2 h r L^2 :
L^2 = k r2 h
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Finalmente, resolvemos para L = raizk r2 h :
L = raiz400 times 0,0032 times 120
Agora, substituímos os valores conhecidos:

Passo 10

Calculando os valores:
L = raiz1,2240
L = raiz0,005
L approx 0,0707 , m

Resposta

O comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita é aproximadamente 0,0707 metros.

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