Um bastão de cobre ( k=400 W / m K ) muito longo, com 6 mm de diâmetro tem sua base mantida a 120^circ C. A superficie do bastão está exposta ao ar ambiente a 25^circ C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 120 W / m^2.K.
Qual a temperatura do bastão a uma distância de 100 mm da base ?

Passo 1

Vamos lá! Temos um bastão de cobre bem longo com diâmetro de 6 mm. A base está a 120^circ C e a superfície está exposta ao ar a 25^circ C. O coeficiente de transferência de calor por convecção é 120 W / m^2 cdot K. Queremos descobrir a temperatura do bastão a 100 mm da base. Vamos precisar usar a Lei de Resfriamento de Newton e a Lei de Condução de Calor de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o sistema internacional. O diâmetro do bastão é 6 mm, então o raio r é 3 mm, ou 0,003 metros. A distância da base onde queremos a temperatura é 100 mm, que é 0,1 metros.

Passo 3

A área da superfície do bastão onde ocorre a transferência de calor por convecção é importante. Como o bastão é cilíndrico, a área A em uma seção a uma distância x da base é dada por:
A = 2 pi r L
onde L é o comprimento considerado. Neste caso, como o bastão é muito longo, consideramos uma seção pequena onde a área pode ser aproximada.

Passo 4

Aplicamos a Lei de Condução de Fourier para o fluxo de calor Q através do bastão:
Q = k A De
onde:
  • k = 400 W/m cdot K é a condutividade térmica do cobre,
  • A é a área da secção transversal,
  • De é a diferença de temperatura,
  • x = 0,1 , m é a distância da base.

Passo 5

A transferência de calor por convecção na superfície é dada por:
Q = h A (Tbastão - Tar) ã
onde:
  • h = 120 W/m^2 cdot K é o coeficiente de convecção,
  • Tbastãoã é a temperatura no ponto considerado,
  • Tar = 25^circ C é a temperatura do ar.

Passo 6

Igualando as duas expressões de Q:
k A (Tbase - Tbastão)x = h A (Tbastão - Tar) ãã
Podemos simplificar A dos dois lados:
k (120 - T)0,1 = h (T - 25)
Aqui, T é a temperatura a 100 mm da base.

Passo 7

Agora, substituímos os valores conhecidos:
400 (120 - T)0,1 = 120 (T - 25)
Simplificando:
4000 (120 - T) = 120 (T - 25)

Passo 8

Vamos resolver para T:
4000 times 120 - 4000 T = 120 T - 3000
480000 - 4000 T = 120 T - 3000
Somando 4000 T e 3000 aos dois lados:
480000 + 3000 = 120 T + 4000 T
483000 = 4120 T
T = 4830004120 approx 117,28^circ C

Resposta

A temperatura do bastão a 100 mm da base é aproximadamente 117,28^circ C.

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