1 - Um bastão muito longo, com 5 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento, tem uma de suas extremidades em contato com uma superfície mantida a 100^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} bastão está exposto ao ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Determine a eficiência e a perda de calor através da aleta, considere \mathrm{k}=200 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}.

Passo 1

O problema é de uma aleta cilíndrica de diâmetro D=0,005,m e comprimento L=0,10,m, com a base mantida a T_{b}=100,°C e o fluido ambiente a T_{\infty}=25,°C, coeficiente de convecção h=100,W/ m^{2}K e condutividade térmica k=200,W/mK. Vamos aplicar a teoria de aletas uniformes em regime permanente, usando as fórmulas para o parâmetro de aleta m, eficiência \eta e taxa de calor Q.

Passo 2

Calcula-se a área de seção transversal A_{c} e o perímetro molhado P da seção circular:
A_{c} = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi\,(0,005)^{2}}{4} \approx 1{,}9635\times10^{-5}\,\text{m}^{2}
P = \pi D = \pi\,(0,005) \approx 0{,}015708\,\text{m}

Passo 3

Determina-se o parâmetro de aleta
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_{c}}} = \sqrt{\frac{100 \times 0{,}015708}{200 \times 1{,}9635\times10^{-5}}} = \sqrt{400} = 20\;\text{m}^{-1}
e o produto adimensional
mL = 20 \times 0{,}10 = 2\,.

Passo 4

A eficiência da aleta é dada por
\eta = \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL} = \frac{\operatorname{tanh}(2)}{2} \approx \frac{0{,}9640}{2} = 0{,}4820 \approx 0{,}48\,.

Passo 5

A perda de calor na aleta (assumindo ponta adiabática) é
Q = \sqrt{h\,P\,k\,A_{c}}\;(T_{b}-T_{\infty})\;\operatorname{tanh}(mL).
Calculando
\sqrt{h\,P\,k\,A_{c}} =\sqrt{100 \times 0{,}015708 \times 200 \times 1{,}9635\times10^{-5}} \approx 0{,}07856,
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Q = 0{,}07856 \times (100 - 25)\times 0{,}9640 \approx 5{,}68\;\text{W} \approx 5{,}7\;\text{W}.

Resposta

A eficiência da aleta é \eta\approx0{,}48 e a perda de calor é Q\approx5{,}7,W.

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