3 - Considere 5 aletas retangulares de uma liga de alumínio ( \mathrm{k}=180 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ), acopladas a um suporte de componente eletrônico quadrado de lado 20 mm , cuja temperatura é de 100^{\circ} \mathrm{C}. As aletas estão expostas a um fluido com temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente convectivo de 100 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Considere as aletas com espessura de 1 mm e largura 5 mm . Determine a taxa de transferência de calor nas aletas e na superfície do suporte.

Passo 1

O problema dá cinco aletas retangulares de alumínio (condutividade térmica k=180\\ \mathrm{W/mK}) presas a um suporte quadrado de lado 20\\ \mathrm{mm}, cuja face está a T_{b}=100{}^{\circ}\mathrm{C}. As aletas expõem-se a um fluido a T_{\infty}=25{}^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Cada aleta tem espessura t=1\\ \mathrm{mm}, altura (projeção no fluido) L=5\\ \mathrm{mm} e largura igual ao lado do suporte 20\\ \mathrm{mm}. Precisamos calcular a taxa de calor rejeitada pelas 5 aletas e pela área livre do suporte.

Passo 2

Determinar as dimensões em unidades SI e as grandezas da aleta:
t = 1\times10^{-3}\,\mathrm{m},\quad L = 5\times10^{-3}\,\mathrm{m},\quad W = 20\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Área da seção transversal
A_c = t\,W = (1\times10^{-3})(20\times10^{-3}) = 2,0\times10^{-5}\,\mathrm{m^2}.
Perímetro molhado
P = 2\,(t + W) = 2\bigl(1\times10^{-3} + 20\times10^{-3}\bigr) = 0{,}042\,\mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o parâmetro m e o produto mL:
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}} = \sqrt{\frac{100\cdot0{,}042}{180\cdot2{,}0\times10^{-5}}} \approx 34{,}17\\ \mathrm{m^{-1}},
mL = 34{,}17\cdot5\times10^{-3}\approx 0{,}171.
A eficiência da aleta aproximada (condição de extremidade livre) é
\eta = \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL} \approx \frac{\operatorname{tanh}(0{,}171)}{0{,}171} \approx 0{,}992.

Passo 4

Área total de troca de uma aleta (2 faces laterais mais a ponta):
A_s = 2\,(W\,L) + (t\,W) =2\,(20\times10^{-3}\cdot5\times10^{-3}) + (1\times10^{-3}\cdot20\times10^{-3}) =2{,}00\times10^{-4} + 2{,}0\times10^{-5} =2{,}20\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}.
Taxa de calor por aleta
q_{\rm aleta} = h\,A_s\,\eta\,(T_{b}-T_{\infty}) =100\cdot2{,}20\times10^{-4}\cdot0{,}992\cdot(100-25) \approx 1{,}64\\ \mathrm{W}.
Para 5 aletas:
Q_{\rm aletas} = 5\,q_{\rm aleta} \approx 5\cdot1{,}64 = 8{,}2\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Área total do suporte:
A_{\rm sup, total} = (20\times10^{-3})^2 = 400\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}.
Área ocupada pelas 5 aletas (pegada na base):
A_{\rm pe} = 5\,(t\,W) =5\cdot(1\times10^{-3}\cdot20\times10^{-3}) =100\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}.
Área livre para convecção no suporte:
A_{\rm livre} = A_{\rm sup, total} - A_{\rm pe} =400\times10^{-6} - 100\times10^{-6} =300\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}.
Taxa de calor do suporte livre
Q_{\rm suporte} = h\,A_{\rm livre}\,(T_{b}-T_{\infty}) =100\cdot300\times10^{-6}\cdot75 =2{,}25\\ \mathrm{W}.

Resposta

Taxa de calor total nas aletas: Q_{\rm aletas}\approx8{,}2\\ \mathrm{W}
Taxa de calor na superfície livre do suporte: Q_{\rm suporte}\approx2{,}25\\ \mathrm{W}

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