Uma bateria possui f.e.m.
e resistência interna
. A bateria está ligada a um motor que levanta um peso
com velocidade constante
. Suponha que não haja perda de potência por efeito Joule. Encontre (a) a corrente i no circuito, (b) a diferença de potencial nos terminais do motor.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos (a) a corrente no circuito e (b) a diferença de potencial nos terminais do motor. Dados fornecidos:
Informação extra útil (do enunciado): “Suponha que não haja perda de potência por efeito Joule.” Vamos interpretar isto como: o motor converte toda a potência elétrica que recebe em potência mecânica (isto é, não há perdas Joule no motor). A resistência interna
da bateria permanece no circuito e causa uma queda de tensão nos terminais da bateria.
Passo 2
Entendendo potências e grandezas envolvidas (aula rápida e prática).
- Potência mecânica fornecida ao peso é a força multiplicada pela velocidade, isto é, a potência de elevação:
onde
é a força peso em newtons e
é a velocidade em metros por segundo. Aqui
tem unidade watt (W).
- A potência elétrica entregue ao motor (a potência que entra nos terminais do motor) é:
onde
é a diferença de potencial nos terminais do motor (em volts) e
é a corrente (em ampères).
- Pelo enunciado (sem perdas Joule no motor), igualamos:
- A relação entre a fem da bateria, a corrente e a tensão nos terminais do motor vem da lei das tensões no circuito com resistência interna:
ou rearranjando,
Aqui explico:
é a queda de tensão na resistência interna da bateria;
é o que sobra para alimentar o motor.
Passo 3
Montando a equação que vamos resolver.
Aplicando as ideias do passo anterior:
Aplicando as ideias do passo anterior:
e
Igualando as potências:
Esta é a equação que relaciona
(a incógnita) com os dados do problema.
Passo 4
Substituindo os valores numéricos e organizando a equação.
Primeiro calculemos a potência mecânica:
Primeiro calculemos a potência mecânica:
Agora coloque na equação:
Desenvolvendo:
Reescrevendo como equação quadrática padrão:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática (passo a passo).
Usamos a fórmula de Bhaskara para :
Usamos a fórmula de Bhaskara para
Simplificando a raiz:
Portanto as soluções são
Passo 6
Escolhendo a solução fisicamente adequada (explicação didática).
Matematicamente há duas correntes positivas que satisfazem a equação. Para decidir qual usar, precisamos de argumento físico sobre o comportamento do motor:
Matematicamente há duas correntes positivas que satisfazem a equação. Para decidir qual usar, precisamos de argumento físico sobre o comportamento do motor:
- O terminal do motor tem tensão
. Para temos
o que daria potência
(confere numericamente).
- Para
temos
e
(também confere).
Qual escolher? Em um motor real de corrente contínua, a velocidade do motor está relacionada à força contra-eletromotriz (f.c.e.m., back-emf) que é proporcional à velocidade; para manter uma velocidade relativamente alta (aqui
), a f.c.e.m. (que corresponde à tensão nos terminais do motor em regime) tende a ser próxima da fem da bateria, resultando em uma corrente relativamente baixa. A solução com
e
é a que representa este caso físico plausível: motor operando a velocidade fornecida com baixa corrente, enquanto a outra solução corresponderia a um regime em que a tensão terminal é muito baixa e a corrente muito alta — situação pouco plausível para um motor rodando na mesma velocidade estável sem outras características específicas.
Portanto selecionamos a solução com corrente menor:
e a tensão nos terminais do motor correspondente:
Resposta
(a)
(b)
(b)