Uma bateria possui f.e.m. \varepsilon=10,0 \mathrm{~V} e resistência interna r=1 \Omega. A bateria está ligada a um motor que levanta um peso p=4 \mathrm{~N} com velocidade constante v=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Suponha que não haja perda de potência por efeito Joule. Encontre (a) a corrente i no circuito, (b) a diferença de potencial nos terminais do motor.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos (a) a corrente no circuito e (b) a diferença de potencial nos terminais do motor. Dados fornecidos:
\varepsilon=10{,}0\\ \mathrm{V},\quad r=1\\ \Omega,\quad p=4\\ \mathrm{N},\quad v=1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Informação extra útil (do enunciado): “Suponha que não haja perda de potência por efeito Joule.” Vamos interpretar isto como: o motor converte toda a potência elétrica que recebe em potência mecânica (isto é, não há perdas Joule no motor). A resistência interna r da bateria permanece no circuito e causa uma queda de tensão nos terminais da bateria.

Passo 2

Entendendo potências e grandezas envolvidas (aula rápida e prática).
  • Potência mecânica fornecida ao peso é a força multiplicada pela velocidade, isto é, a potência de elevação:
P_{\text{mec}} = p\cdot v,
onde p é a força peso em newtons e v é a velocidade em metros por segundo. Aqui P_{\text{mec}} tem unidade watt (W).
  • A potência elétrica entregue ao motor (a potência que entra nos terminais do motor) é:
P_{\text{el, motor}} = V\cdot i,
onde V é a diferença de potencial nos terminais do motor (em volts) e i é a corrente (em ampères).
  • Pelo enunciado (sem perdas Joule no motor), igualamos:
P_{\text{mec}} = P_{\text{el, motor}}.
  • A relação entre a fem da bateria, a corrente e a tensão nos terminais do motor vem da lei das tensões no circuito com resistência interna:
\varepsilon = V + i\,r,
ou rearranjando,
V = \varepsilon - i\,r.
Aqui explico: i\,r é a queda de tensão na resistência interna da bateria; V é o que sobra para alimentar o motor.

Passo 3

Montando a equação que vamos resolver.
Aplicando as ideias do passo anterior:
P_{\text{mec}} = p v
e
P_{\text{el, motor}} = V i = (\varepsilon - i r)\,i.
Igualando as potências:
p v = i(\varepsilon - i r).
Esta é a equação que relaciona i (a incógnita) com os dados do problema.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e organizando a equação.
Primeiro calculemos a potência mecânica:
p v = 4\cdot 1{,}5 = 6\\ \mathrm{W}.
Agora coloque na equação:
6 = i(10 - i\cdot 1).
Desenvolvendo:
6 = 10i - i^{2}.
Reescrevendo como equação quadrática padrão:
i^{2} - 10i + 6 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática (passo a passo).
Usamos a fórmula de Bhaskara para i^{2}-10i+6=0:
i=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^{2}-4\cdot1\cdot6}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{100-24}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{76}}{2}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{76}=2\sqrt{19}\approx 8{,}7178.
Portanto as soluções são
i_{1}=\frac{10+2\sqrt{19}}{2}=5+\sqrt{19}\approx 9{,}3589\\ \mathrm{A},
i_{2}=\frac{10-2\sqrt{19}}{2}=5-\sqrt{19}\approx 0{,}6411\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Escolhendo a solução fisicamente adequada (explicação didática).
Matematicamente há duas correntes positivas que satisfazem a equação. Para decidir qual usar, precisamos de argumento físico sobre o comportamento do motor:
  • O terminal do motor tem tensão V=\varepsilon-i r. Para i_{1}\approx9{,}36\\ \mathrm{A} temos
V_{1}=10-9{,}3589\approx 0{,}6411\\ \mathrm{V},
o que daria potência V_{1}i_{1}\approx 0{,}6411\times 9{,}3589\approx 6\\ \mathrm{W} (confere numericamente).
  • Para i_{2}\approx0{,}6411\\ \mathrm{A} temos
V_{2}=10-0{,}6411\approx 9{,}3589\\ \mathrm{V},
e V_{2}i_{2}\approx 9{,}3589\times 0{,}6411\approx 6\\ \mathrm{W} (também confere).
Qual escolher? Em um motor real de corrente contínua, a velocidade do motor está relacionada à força contra-eletromotriz (f.c.e.m., back-emf) que é proporcional à velocidade; para manter uma velocidade relativamente alta (aqui v=1{,}5\\ \mathrm{m/s}), a f.c.e.m. (que corresponde à tensão nos terminais do motor em regime) tende a ser próxima da fem da bateria, resultando em uma corrente relativamente baixa. A solução com V\approx 9{,}36\\ \mathrm{V} e i\approx 0{,}641\\ \mathrm{A} é a que representa este caso físico plausível: motor operando a velocidade fornecida com baixa corrente, enquanto a outra solução corresponderia a um regime em que a tensão terminal é muito baixa e a corrente muito alta — situação pouco plausível para um motor rodando na mesma velocidade estável sem outras características específicas.
Portanto selecionamos a solução com corrente menor:
i\approx 0{,}6411\\ \mathrm{A},
e a tensão nos terminais do motor correspondente:
V\approx 9{,}3589\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) i\approx 0{,}641\\ \mathrm{A}
(b) V\approx 9{,}36\\ \mathrm{V}

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