A potência dissipada por duas resistências ligadas em série é
vezes menor do que a potência dissipada pelas mesmas resistências, quando elas são ligadas em paralelo (com a mesma fonte). Conhecendo-se uma das resistências (
) obtenha uma equação para a determinação da outra resistência (
). Despreze a resistência interna da fonte.
Passo 1
O enunciado pede que, conhecendo-se uma das resistências
, eu obtenha uma equação para determinar a outra resistência
, sabendo que a potência dissipada pelas duas resistências em série é
vezes menor do que a potência dissipada pelas mesmas resistências quando estão em paralelo (mesma fonte, despreze resistência interna).
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Dadas as resistências
(conhecida) e (a determinar). - A mesma fonte de tensão
alimenta os dois casos (série e paralelo). - Desprezar resistência interna da fonte.
- Relação entre potências: a potência em série é
vezes menor que a potência em paralelo. Interpreto isso como (equivalente a ). - Objetivo: obter uma equação (e opcionalmente a solução) para
em função de e .
Passo 2
Primeiro precisamos das fórmulas básicas que vamos usar — eu explico passo a passo como surgem, sem pular etapas.
Lei de Ohm e potência:
- A lei de Ohm diz que a tensão em uma resistência é
, onde é a corrente e a resistência. - A potência dissipada por uma resistência pode ser escrita como
. Substituindo (da lei de Ohm) obtemos uma forma prática:
Aqui
é a tensão sobre a resistência (ou resistência equivalente) e
o valor dessa resistência (ou equivalente).
Equivalência de resistências:
- Para duas resistências em série, a resistência equivalente é a soma:
- Para duas resistências em paralelo, a resistência equivalente é dada por
Essas fórmulas vêm da definição de corrente e da adição de quedas de tensão (série) e da soma de condutâncias (paralelo).
Passo 3
Agora escrevo as potências totais dissipadas nos dois arranjos usando
.
Potência com resistências em série:
Potência com resistências em paralelo:
(Observação pedagógica: note que em paralelo a resistência equivalente tende a ser menor, por isso a potência total tende a ser maior, já que
.)
Passo 4
Aplicando a condição do enunciado. Usamos a interpretação
. Substituindo as expressões das potências:
Podemos cancelar
dos dois lados (a fonte é a mesma e não é zero), resultando em:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores obtemos
Essa é uma relação direta e muito útil — já estamos bem perto da equação para
.
Passo 5
Volto essa relação para uma forma explícita em
. Expandindo o quadrado:
Reorganizando todos os termos para formar uma equação quadrática em
:
Essa é a equação procurada: uma equação quadrática cuja incógnita é
e cujos coeficientes dependem de
e de
.
Passo 6
Para ficar ainda mais prático (útil na prova), eu já resolvo a quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara e explico as condições físicas.
A equação é
Aplicando a fórmula quadrática
, com
,
,
, obtemos
Factorizando
e simplificando o discriminante:
Observando que
e que
podemos escrever a solução numa forma mais limpa:
Condições físicas:
- Para que as soluções sejam reais precisamos de
. Como normalmente (falar em “n vezes menor” assume ), isso implica . Para não há solução real positiva — fisicamente isso significa que não existe resistência positiva que satisfaça a relação dada com esse . - Para
o discriminante é zero e as duas raízes coincidem, resultando em . Para aparecem duas soluções positivas diferentes; elas são recíprocas entre si em relação a (produto das raízes é ), o que reflete a simetria natural do problema ao trocar por .