A potência dissipada por duas resistências ligadas em série é n vezes menor do que a potência dissipada pelas mesmas resistências, quando elas são ligadas em paralelo (com a mesma fonte). Conhecendo-se uma das resistências ( R_{1} ) obtenha uma equação para a determinação da outra resistência ( R_{2} ). Despreze a resistência interna da fonte.

Passo 1

O enunciado pede que, conhecendo-se uma das resistências \,R_{1}\,, eu obtenha uma equação para determinar a outra resistência \,R_{2}\,, sabendo que a potência dissipada pelas duas resistências em série é n vezes menor do que a potência dissipada pelas mesmas resistências quando estão em paralelo (mesma fonte, despreze resistência interna).
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dadas as resistências \,R_{1}\, (conhecida) e \,R_{2}\, (a determinar).
  • A mesma fonte de tensão \,V\, alimenta os dois casos (série e paralelo).
  • Desprezar resistência interna da fonte.
  • Relação entre potências: a potência em série é n vezes menor que a potência em paralelo. Interpreto isso como \;P_{\text{série}} = \dfrac{1}{n}\,P_{\text{paralelo}}\;é (equivalente a P_{\text{paralelo}} = n\,P_{\text{série}}é).
  • Objetivo: obter uma equação (e opcionalmente a solução) para \,R_{2}\, em função de \,R_{1}\, e n.

Passo 2

Primeiro precisamos das fórmulas básicas que vamos usar — eu explico passo a passo como surgem, sem pular etapas.
Lei de Ohm e potência:
  • A lei de Ohm diz que a tensão em uma resistência é \;V=I\,R\;, onde \,I\, é a corrente e \,R\, a resistência.
  • A potência dissipada por uma resistência pode ser escrita como \;P = V\,I\;. Substituindo I = V/R (da lei de Ohm) obtemos uma forma prática:
P = V\,I = V\left(\frac{V}{R}\right) = \frac{V^{2}}{R}.
Aqui \,V\, é a tensão sobre a resistência (ou resistência equivalente) e \,R\, o valor dessa resistência (ou equivalente).
Equivalência de resistências:
  • Para duas resistências em série, a resistência equivalente é a soma:
R_{\text{s}} = R_{1} + R_{2}.
  • Para duas resistências em paralelo, a resistência equivalente é dada por
R_{\text{p}} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}.
Essas fórmulas vêm da definição de corrente e da adição de quedas de tensão (série) e da soma de condutâncias (paralelo).

Passo 3

Agora escrevo as potências totais dissipadas nos dois arranjos usando \;P = \dfrac{V^{2}}{R_{\text{eq}}}\;.
Potência com resistências em série:
P_{\text{s}} = \frac{V^{2}}{R_{\text{s}}} = \frac{V^{2}}{R_{1} + R_{2}}.
Potência com resistências em paralelo:
P_{\text{p}} = \frac{V^{2}}{R_{\text{p}}} = \frac{V^{2}}{\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}} = V^{2}\,\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}R_{2}}.
(Observação pedagógica: note que em paralelo a resistência equivalente tende a ser menor, por isso a potência total tende a ser maior, já que P=V^{2}/R_{\text{eq}}.)

Passo 4

Aplicando a condição do enunciado. Usamos a interpretação \;P_{\text{p}} = n\,P_{\text{s}}\;. Substituindo as expressões das potências:
V^{2}\,\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}R_{2}} = n \cdot \frac{V^{2}}{R_{1} + R_{2}}.
Podemos cancelar V^{2} dos dois lados (a fonte é a mesma e não é zero), resultando em:
\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}R_{2}} = \frac{n}{R_{1} + R_{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \,R_{1}R_{2}(R_{1}+R_{2})\, para eliminar denominadores obtemos
(R_{1} + R_{2})^{2} = n\,R_{1}R_{2}.
Essa é uma relação direta e muito útil — já estamos bem perto da equação para \,R_{2}\,.

Passo 5

Volto essa relação para uma forma explícita em \,R_{2}\,. Expandindo o quadrado:
R_{1}^{2} + 2R_{1}R_{2} + R_{2}^{2} = n\,R_{1}R_{2}.
Reorganizando todos os termos para formar uma equação quadrática em \,R_{2}\,:
R_{2}^{2} + (2 - n)\,R_{1}R_{2} + R_{1}^{2} = 0.
Essa é a equação procurada: uma equação quadrática cuja incógnita é \,R_{2}\, e cujos coeficientes dependem de \,R_{1}\, e de n.

Passo 6

Para ficar ainda mais prático (útil na prova), eu já resolvo a quadrática para \,R_{2}\, usando a fórmula de Bhaskara e explico as condições físicas.
A equação é
R_{2}^{2} + (2-n)R_{1}R_{2} + R_{1}^{2} = 0.
Aplicando a fórmula quadrática \;R_{2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\;, com a=1, b=(2-n)R_{1}, c=R_{1}^{2}, obtemos
R_{2} = \frac{-(2-n)R_{1} \pm \sqrt{\big((2-n)R_{1}\big)^{2} - 4\cdot 1\cdot R_{1}^{2}}}{2}.
Factorizando R_{1} e simplificando o discriminante:
R_{2} = R_{1}\,\frac{n-2 \pm \sqrt{(2-n)^{2} - 4}}{2}.
Observando que (2-n)^{2} = (n-2)^{2} e que
(2-n)^{2} - 4 = n^{2} - 4n = n(n-4),
podemos escrever a solução numa forma mais limpa:
R_{2} = R_{1}\,\frac{(n-2) \pm \sqrt{\,n(n-4)\,}}{2}.
Condições físicas:
  • Para que as soluções sejam reais precisamos de n(n-4)\ge 0. Como normalmente n>0 (falar em “n vezes menor” assume n>0), isso implica n \ge 4. Para 0<n<4 não há solução real positiva — fisicamente isso significa que não existe resistência positiva \,R_{2}\, que satisfaça a relação dada com esse n.
  • Para n=4 o discriminante é zero e as duas raízes coincidem, resultando em R_{2}=R_{1}. Para n>4 aparecem duas soluções positivas diferentes; elas são recíprocas entre si em relação a R_{1} (produto das raízes é R_{1}^{2}), o que reflete a simetria natural do problema ao trocar R_{1} por R_{2}.

Resposta

R_{2}^{2} + (2-n)R_{1}R_{2} + R_{1}^{2} = 0
R_{2} = R_{1}\,\frac{(n-2) \pm \sqrt{\,n(n-4)\,}}{2},\quad\text{com }n\ge 4

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