Um capacitor de placas paralelas quadradas de lado \ell \mathrm{e} separação d entre elas é conectado a uma fonte de voltagem V_{0}. Suponha \ell \gg d e despreze os efeitos de borda. (a) Determine a energia eletrostática armazenada no6 capacitor.(b) Ainda conectadas à fonte de voltagem, as placas do capacitor são gradualmente aproximadas uma da outra até que a distância entre elas passa a valer d / 3. Calcule a energia eletrostática armazenada nessa nova configuração.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas, cada placa é um quadrado de lado \ell e a separação inicial entre as placas é d. As placas estão conectadas a uma fonte que mantém a diferença de potencial igual a V_{0}. Foi dito que \ell \gg d e que os efeitos de borda podem ser desprezados. Perguntas: (a) determinar a energia eletrostática armazenada no capacitor na configuração inicial; (b) mantendo as placas conectadas à mesma fonte (ou seja, V_{0} constante), aproximar gradualmente as placas até a distância ser d/3 e calcular a nova energia armazenada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\ell — lado do quadrado da placa;
d — separação inicial entre as placas;
V_{0} — tensão fornecida pela fonte (fixa, já que as placas permanecem conectadas);
Despreza-se efeitos de borda e \ell \gg d, logo o campo entre as placas pode ser considerado uniforme.

Passo 2

Entender a relação entre energia e capacitância: a energia eletrostática U armazenada num capacitor pode ser obtida calculando o trabalho necessário para carregar o capacitor. Se um capacitor tem capacitância C e recebe carga total Q, a diferença de potencial instantânea quando a carga parcial é q é \displaystyle V(q)=\frac{q}{C}. O trabalho incremental para adicionar uma pequena carga dq é dW=V(q)\,dq=\frac{q}{C}\,dq. Integrando desde q=0 até q=Q obtemos a energia total armazenada:
U=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\,dq=\frac{1}{C}\cdot\frac{Q^{2}}{2}=\frac{Q^{2}}{2C}.
Como o capacitor está conectado a uma fonte que mantém V=V_{0} constante, temos Q=C\,V_{0}. Substituindo na expressão anterior obtemos a forma mais usada:
U=\frac{1}{2}\,C\,V_{0}^{2}.
Explicação das variáveis: \,C é a capacitância (medida de quanto carga é armazenada por volt), \,Q é a carga nas placas, \,V_{0} é a diferença de potencial mantida pela fonte. Essa fórmula é central para resolver os itens, pois a fonte mantém V_{0} fixo.

Passo 3

Encontrar a capacitância de um capacitor de placas paralelas (sem efeitos de borda). Para placas de área A separadas por distância d em vácuo (ou ar aproximado), a capacitância é
C=\frac{\varepsilon_{0}\,A}{d},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8{,}85\times 10^{-12}\,\mathrm{F/m}). Vou mostrar rapidamente de onde vem essa fórmula: com \ell\gg d o campo entre as placas é aproximadamente uniforme e dado por \displaystyle E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}, onde \sigma é densidade de carga superficial na placa (carga por unidade de área). A diferença de potencial é V=E\,d. Como \sigma=Q/A, obtemos
V=\frac{Q}{A}\cdot\frac{d}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad C=\frac{Q}{V}=\frac{\varepsilon_{0}\,A}{d}.
No nosso caso a área de cada placa (quadrada) é A=\ell^{2}. Portanto:
C=\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d}.

Passo 4

Calcular a energia inicial (item a). Usamos a fórmula da energia com V_{0} fixo:
U_{1}=\frac{1}{2}\,C_{1}\,V_{0}^{2}.
Substituindo C_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d} obtemos
U_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d}\,V_{0}^{2}.
Aqui U_{1} é a energia eletrostática armazenada na configuração inicial. Cada símbolo: \varepsilon_{0} (permissividade do vácuo), \ell (lado da placa), d (distância inicial), V_{0} (tensão da fonte).

Passo 5

Calcular a energia após aproximar as placas para d/3 mantendo a fonte conectada (item b). Quando a distância passa a valer d/3, a nova capacitância é
C_{2}=\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d/3}=\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d}\cdot 3=3\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d}=3C_{1}.
Como a fonte mantém V_{0} constante, a nova energia é
U_{2}=\frac{1}{2}\,C_{2}\,V_{0}^{2}=\frac{1}{2}\cdot 3C_{1}\,V_{0}^{2}=3\left(\frac{1}{2}C_{1}V_{0}^{2}\right)=3U_{1}.
Portanto a energia armazenada triplica. (Comentário físico didático: isso acontece porque, ao aproximar as placas mantendo V_{0}, a capacitância aumenta, a bateria fornece carga extra e faz trabalho positivo sobre o sistema; esse trabalho é convertido em energia elétrica armazenada no campo.)

Resposta

\displaystyle U_{1}=\frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d}\,V_{0}^{2}
\displaystyle U_{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d/3}\,V_{0}^{2}=3\,\frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon_{0}\,\ell^{2}}{d}\,V_{0}^{2}=3U_{1}

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