Um capacitor de placas paralelas quadradas de lado
separação
entre elas é conectado a uma fonte de voltagem
. Suponha
e despreze os efeitos de borda. (a) Determine a energia eletrostática armazenada no6 capacitor.(b) Ainda conectadas à fonte de voltagem, as placas do capacitor são gradualmente aproximadas uma da outra até que a distância entre elas passa a valer
. Calcule a energia eletrostática armazenada nessa nova configuração.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor de placas paralelas, cada placa é um quadrado de lado
e a separação inicial entre as placas é
. As placas estão conectadas a uma fonte que mantém a diferença de potencial igual a
. Foi dito que
e que os efeitos de borda podem ser desprezados. Perguntas: (a) determinar a energia eletrostática armazenada no capacitor na configuração inicial; (b) mantendo as placas conectadas à mesma fonte (ou seja,
constante), aproximar gradualmente as placas até a distância ser
e calcular a nova energia armazenada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
— lado do quadrado da placa;
— separação inicial entre as placas;
— tensão fornecida pela fonte (fixa, já que as placas permanecem conectadas);
Despreza-se efeitos de borda e , logo o campo entre as placas pode ser considerado uniforme.
Despreza-se efeitos de borda e
Passo 2
Entender a relação entre energia e capacitância: a energia eletrostática
armazenada num capacitor pode ser obtida calculando o trabalho necessário para carregar o capacitor. Se um capacitor tem capacitância
e recebe carga total
, a diferença de potencial instantânea quando a carga parcial é
é
. O trabalho incremental para adicionar uma pequena carga
é
. Integrando desde
até
obtemos a energia total armazenada:
Como o capacitor está conectado a uma fonte que mantém
constante, temos
. Substituindo na expressão anterior obtemos a forma mais usada:
Explicação das variáveis:
é a capacitância (medida de quanto carga é armazenada por volt),
é a carga nas placas,
é a diferença de potencial mantida pela fonte. Essa fórmula é central para resolver os itens, pois a fonte mantém
fixo.
Passo 3
Encontrar a capacitância de um capacitor de placas paralelas (sem efeitos de borda). Para placas de área
separadas por distância
em vácuo (ou ar aproximado), a capacitância é
onde
é a permissividade do vácuo (
). Vou mostrar rapidamente de onde vem essa fórmula: com
o campo entre as placas é aproximadamente uniforme e dado por
, onde
é densidade de carga superficial na placa (carga por unidade de área). A diferença de potencial é
. Como
, obtemos
No nosso caso a área de cada placa (quadrada) é
. Portanto:
Passo 4
Calcular a energia inicial (item a). Usamos a fórmula da energia com
fixo:
Substituindo
obtemos
Aqui
é a energia eletrostática armazenada na configuração inicial. Cada símbolo:
(permissividade do vácuo),
(lado da placa),
(distância inicial),
(tensão da fonte).
Passo 5
Calcular a energia após aproximar as placas para
mantendo a fonte conectada (item b). Quando a distância passa a valer
, a nova capacitância é
Como a fonte mantém
constante, a nova energia é
Portanto a energia armazenada triplica. (Comentário físico didático: isso acontece porque, ao aproximar as placas mantendo
, a capacitância aumenta, a bateria fornece carga extra e faz trabalho positivo sobre o sistema; esse trabalho é convertido em energia elétrica armazenada no campo.)