A beam has the cross section shown. If it is made of steel that has an allowable stress of \sigma_{\text {allow }}=170 MPa , determine the largest internal moment the beam can resist if the moment is applied about the y axis. Given: \quad \mathrm{b}_{\mathrm{f}}:=120 \mathrm{~mm} \quad \mathrm{t}_{\mathrm{f}}:=5 \mathrm{~mm} \quad \mathrm{~d}:=120 \mathrm{~mm}
\mathrm{t}_{\mathrm{w}}:=5 \mathrm{~mm} \quad \sigma_{\text {allow }}:=170 \mathrm{MPa}
Solution: \quad D:=d+2 t_{f}
\begin{aligned} & I_{z}:=\frac{1}{12} \cdot\left[b_{f} D^{3}-\left(b_{f}-t_{w}\right) \cdot d^{3}\right] \\\ & I_{y}:=2\left(\frac{1}{12} \cdot t_{f} b_{f}^{3}\right)+\frac{1}{12} \cdot d \cdot t_{w}^{3} \end{aligned}
Bending Stress: \quad \sigma_{\text {allow }}=M \cdot \frac{c}{I}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior momento interno que a viga pode resistir quando o momento é aplicado em torno do eixo y, sabendo que a tensão admissível do aço é \sigma_{\text{allow}}=170 MPa.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
b_f=120\\ \text{mm},\quad t_f=5\\ \text{mm},\quad d=120\\ \text{mm},\quad t_w=5\\ \text{mm},\quad \sigma_{\text{allow}}=170\\ \text{MPa}.
O enunciado também dá as fórmulas que usaremos:
D:=d+2t_f,
I_y:=2\left(\frac{1}{12}\,t_f b_f^{3}\right)+\frac{1}{12}\,d\,t_w^{3},
e a relação de flexão
\sigma_{\text{allow}}=M\cdot\frac{c}{I_y}.
O que precisamos encontrar é M_{\max} (o maior momento) a partir dessa equação, depois de calcular I_y e c.

Passo 2

Entendimento das grandezas e do que é c. Quando o momento é aplicado em torno do eixo y (eixo vertical que passa pelo centro da peça), as fibras mais solicitadas ficam nas extremidades em z. A distância máxima do eixo y até a fibra mais distante é metade da largura da flange, ou seja
c=\frac{b_f}{2}.
Aqui c está em milímetros, compatível com I_y em \text{mm}^4 e \sigma em \text{N}/\text{mm}^2.

Passo 3

Relembrando a fórmula do momento de inércia para um retângulo em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é paralelo a um dos lados: para um retângulo com dimensões b (na direção perpendicular ao eixo) e h (na direção paralela ao eixo), o momento de inércia em torno do eixo que atravessa o centro e é paralelo a h é
I=\frac{1}{12}\,h\,b^{3}.
No nosso caso, cada flange é um retângulo com “altura” (na direção do eixo) t_f e “largura” (na direção perpendicular, a que dá o cubo) b_f. Por isso o termo da flange é \frac{1}{12}\,t_f b_f^3. O web (alma) tem “altura” d e “espessura” t_w, logo seu termo é \frac{1}{12}\,d\,t_w^3. Como existem duas flanges, multiplicamos esse termo por 2.

Passo 4

Calcule c numericamente:
c=\frac{b_f}{2}=\frac{120}{2}=60\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcule I_y passo a passo usando as fórmulas dadas. Primeiro o termo de uma flange:
\frac{1}{12}\,t_f b_f^{3}=\frac{1}{12}\cdot 5\cdot 120^{3}.
Calcule 120^{3}:
120^{2}=14400,\qquad 120^{3}=14400\cdot120=1\,728\,000.
Então
\frac{1}{12}\cdot 5\cdot 1\,728\,000=\frac{8\,640\,000}{12}=720\,000\\ \text{mm}^4
(este é o I de uma flange). Como há duas flanges:
2\cdot 720\,000=1\,440\,000\\ \text{mm}^4.
Agora o termo do web:
\frac{1}{12}\,d\,t_w^{3}=\frac{1}{12}\cdot 120\cdot 5^{3}=\frac{1}{12}\cdot 120\cdot 125=\frac{15\,000}{12}=1\,250\\ \text{mm}^4.
Somando:
I_y=1\,440\,000+1\,250=1\,441\,250\\ \text{mm}^4.

Passo 6

Reescrevendo a fórmula da tensão de flexão e isolando M:
\sigma=\frac{M\,c}{I_y}\quad\Longrightarrow\quad M=\sigma\cdot\frac{I_y}{c}.
Vamos usar \sigma=\sigma_{\text{allow}}=170\\ \text{MPa}=170\\ \text{N}/\text{mm}^2, I_y=1\,441\,250\\ \text{mm}^4 e c=60\\ \text{mm}.

Passo 7

Calcule M em \text{N}\cdot\text{mm}:
M=170\cdot\frac{1\,441\,250}{60}=170\cdot 24\,020{,}833333\ldots =4\,083\,541{,}6667\\ \text{N}\cdot\text{mm}.

Passo 8

Converta para unidades práticas ( \text{kN}\cdot\text{m}). Lembre que
1\\ \text{kN}\cdot\text{m}=1\,000\\ \text{N}\cdot\text{m}=1\,000\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Então
M= \frac{4\,083\,541{,}6667}{1\,000\,000}=4{,}0835416667\\ \text{kN}\cdot\text{m}\approx 4{,}08\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Resposta

M_{\max}=4{,}08\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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