Os seguintes estados de deformação foram medidos na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. Use v=1 / 3.
\epsilon_{x} \epsilon_{y} \gamma_{x y}
+30 \mu +570 \mu +720 \mu
+160 \mu -480 \mu -600 \mu
-600 \mu -400 \mu +350 \mu
-260 \mu -60 \mu +400 \mu

Passo 1

O enunciado fornece quatro estados de deformação medidos na superfície de uma placa fina e pede para cada estado:
  1. (a) a direção e a intensidade das deformações principais;
  2. (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (plano da placa);
  3. (c) a deformação de cisalhamento máxima (considerando o estado tridimensional decorrente da condição de superfície livre).
Dados (cada linha em \mu, unidades de deformação absoluta):
\begin{array}{ccc} \epsilon_x & \epsilon_y & \gamma_{xy} \\\ \hline +30 & +570 & +720 \\\\ +160 & -480 & -600 \\\\ -600 & -400 & +350 \\\\ -260 & -60 & +400 \end{array}
Constante elástica dada: \nu = 1/3.
As perguntas são essas três (a), (b), (c) para cada uma das quatro linhas acima.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usaremos (explicadas passo a passo):
  1. Condição de superfície livre (placa fina, superfície livre de tensão normal out-of-plane) implica tensão \sigma_z=0. Em regime de pequenas deformações e comportamento linear elástico, a deformação na direção z (espessura) fica relacionada por Poisson:
\epsilon_z = -\nu\bigl(\epsilon_x+\epsilon_y\bigr).
Aqui \epsilon_x,\epsilon_y são deformações normais no plano e \nu é o coeficiente de Poisson.
  1. Representação do tensor de deformação plano (usamos \gamma_{xy} como a “deformação de cisalhamento de engenharia”; a componente de tensor é \epsilon_{xy}=\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}). Para achar deformações principais (autovalores do tensor), usamos as fórmulas clássicas:
  • média das deformações normais no plano:
\bar\epsilon=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}.
  • raio da circunferência de Mohr para deformações:
R=\sqrt{\left(\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.
  • as deformações principais no plano são
\epsilon_{1,2}=\bar\epsilon\pm R,
onde \epsilon_1 é a maior (máxima) e \epsilon_2 a menor (in-plane).
  • a direção (ângulo) \theta_p da deformação principal (medida a partir do eixo x, ângulo positivo no sentido anti-horário) satisfaz
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}.
Em prática computamos 2\theta_p=\arctan\!\bigl(\tfrac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}\bigr) e então \theta_p=\tfrac{1}{2}2\theta_p. Há ambiguidade de 90^\circ (duas direções principais), escolhemos a associada a \epsilon_1.
  1. Deformação de cisalhamento máxima no plano (engenharia) é a diferença entre as deformações principais no plano:
\gamma_{\text{max, plano}}=\epsilon_1-\epsilon_2 = 2R = \sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}.
Isto representa a maior deformação de cisalhamento que aparece em algum plano do próprio plano xy.
  1. Deformação de cisalhamento máxima no estado tridimensional (considerando \epsilon_z): primeiro obtemos as três deformações principais \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3 (onde \epsilon_3 aqui será a terceira principal, tipicamente associada à direção z depois de ordenar os autovalores). No nosso caso, já temos duas autovalores no plano \epsilon_1,\epsilon_2 e a terceira é simplesmente \epsilon_3=\epsilon_z (por construção do problema de placa, os eixos principais tridimensionais serão uma permutação desses valores). A deformação de cisalhamento máxima (engenharia) em 3D é o máximo entre as diferenças de pares de deformações principais:
\gamma_{\text{max, 3D}}=\max\bigl\{|\epsilon_1-\epsilon_2|,\;|\epsilon_1-\epsilon_3|,\;|\epsilon_2-\epsilon_3|\bigr\}.
(Na prática, como \epsilon_1\ge\epsilon_2 por definição no plano, esta expressão reduz-se ao maior dos três valores \epsilon_i-\epsilon_j.)
Observação sobre sinais e orientação: o ângulo calculado por \arctan pode dar valores negativos; isso indica rotação no sentido horário. Podemos reportar \theta_p como valor negativo (horário) ou converter para um ângulo positivo somando 180^\circ se desejarmos, lembrando que direções de eixos principais se repetem a cada 90^\circ.

Passo 3

Agora vamos resolver caso a caso aplicando as fórmulas. Vou mostrar as contas detalhadas.
Caso 1: \epsilon_x=+30\,\mu,\\ \epsilon_y=+570\,\mu,\\ \gamma_{xy}=+720\,\mu.
  1. Calcular \epsilon_z:
\epsilon_z=-\nu(\epsilon_x+\epsilon_y)=-\tfrac{1}{3}(30+570)=-\tfrac{1}{3}\cdot600=-200\,\mu.
  1. Média e termos para R:
\bar\epsilon=\frac{30+570}{2}=300\,\mu, \qquad \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{30-570}{2}=-270\,\mu, \qquad \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{720}{2}=360\,\mu.
R=\sqrt{(-270)^2+360^2}=\sqrt{72900+129600}=\sqrt{202500}=450\,\mu.
  1. Deformações principais no plano:
\epsilon_1=\bar\epsilon+R=300+450=750\,\mu, \qquad \epsilon_2=\bar\epsilon-R=300-450=-150\,\mu.
  1. Direção da deformação principal (máxima):
\tan(2\theta_p)=\frac{720}{30-570}=\frac{720}{-540}=-\tfrac{4}{3}.
2\theta_p=\arctan\!\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)\approx -53{,}130^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_p\approx -26{,}565^\circ.
(ou seja, 26{,}565^\circ no sentido horário a partir do eixo x; a outra direção principal está a +63{,}435^\circ.)
  1. Deformação de cisalhamento máxima no plano:
\gamma_{\text{max, plano}}=\epsilon_1-\epsilon_2=750-(-150)=900\,\mu.
  1. Deformação principal terceira e cisalhamento máximo 3D:
    Terceira deformação principal (da espessura) já calculada \epsilon_3=\epsilon_z=-200\,\mu.
    Diferenças:
\epsilon_1-\epsilon_3=750-(-200)=950\,\mu, \quad \epsilon_1-\epsilon_2=900\,\mu, \quad \epsilon_2-\epsilon_3=-150-(-200)=50\,\mu.
Logo
\gamma_{\text{max, 3D}}=\max\{900,950,50\}=950\,\mu.

Passo 4

Caso 2: \epsilon_x=+160\,\mu,\\ \epsilon_y=-480\,\mu,\\ \gamma_{xy}=-600\,\mu.
  1. \epsilon_z:
\epsilon_z=-\tfrac{1}{3}(160-480)=-\tfrac{1}{3}(-320)=+106{,}666\ldots\,\mu\approx+106{,}667\,\mu.
  1. Média e termos:
\bar\epsilon=\frac{160+(-480)}{2}=-160\,\mu, \qquad \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{160-(-480)}{2}=\frac{640}{2}=320\,\mu, \qquad \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-600}{2}=-300\,\mu.
R=\sqrt{320^2+(-300)^2}=\sqrt{102400+90000}=\sqrt{192400}\approx438{,}636\,\mu.
  1. Principais no plano:
\epsilon_1=\bar\epsilon+R=-160+438{,}636=278{,}636\,\mu, \qquad \epsilon_2=-160-438{,}636=-598{,}636\,\mu.
  1. Direção:
\tan(2\theta_p)=\frac{-600}{160-(-480)}=\frac{-600}{640}=-0{,}9375.
2\theta_p=\arctan(-0{,}9375)\approx -43{,}300^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_p\approx -21{,}650^\circ.
  1. Cisalhamento máximo no plano:
\gamma_{\text{max, plano}}=\epsilon_1-\epsilon_2=278{,}636-(-598{,}636)=877{,}273\,\mu.
  1. Cisalhamento máximo 3D:
    \epsilon_3\approx+106{,}667\,\mu. Ordenando: \epsilon_1\approx278{,}636,\\ \epsilon_3\approx106{,}667,\\ \epsilon_2\approx-598{,}636.
    Diferenças maiores:
\epsilon_1-\epsilon_2=877{,}273\,\mu,\quad \epsilon_1-\epsilon_3\approx171{,}969\,\mu,\quad \epsilon_3-\epsilon_2\approx705{,}303\,\mu.
Assim
\gamma_{\text{max, 3D}}=877{,}273\,\mu.

Passo 5

Caso 3: \epsilon_x=-600\,\mu,\\ \epsilon_y=-400\,\mu,\\ \gamma_{xy}=+350\,\mu.
  1. \epsilon_z:
\epsilon_z=-\tfrac{1}{3}(-600-400)=-\tfrac{1}{3}(-1000)=+333{,}333\ldots\,\mu\approx+333{,}333\,\mu.
  1. Média e termos:
\bar\epsilon=\frac{-600-400}{2}=-500\,\mu, \qquad \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{-600-(-400)}{2}=\frac{-200}{2}=-100\,\mu, \qquad \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{350}{2}=175\,\mu.
R=\sqrt{(-100)^2+175^2}=\sqrt{10000+30625}=\sqrt{40625}\approx201{,}556\,\mu.
  1. Principais no plano:
\epsilon_1=-500+201{,}556=-298{,}444\,\mu, \qquad \epsilon_2=-500-201{,}556=-701{,}556\,\mu.
  1. Direção:
\tan(2\theta_p)=\frac{350}{-600-(-400)}=\frac{350}{-200}=-1{,}75,
2\theta_p=\arctan(-1{,}75)\approx -60{,}255^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_p\approx -30{,}128^\circ.
  1. Cisalhamento máximo no plano:
\gamma_{\text{max, plano}}=\epsilon_1-\epsilon_2=(-298{,}444)-(-701{,}556)=403{,}111\,\mu.
  1. Cisalhamento máximo 3D:
    \epsilon_3\approx+333{,}333\,\mu. Ordenando: \epsilon_{\max}=333{,}333,\\ \epsilon_{\text{meio}}=-298{,}444,\\ \epsilon_{\min}=-701{,}556.
    Maior diferença:
\epsilon_{\max}-\epsilon_{\min}=333{,}333-(-701{,}556)=1\,034{,}889\,\mu.
Portanto
\gamma_{\text{max, 3D}}=1\,034{,}889\,\mu.

Passo 6

Caso 4: \epsilon_x=-260\,\mu,\\ \epsilon_y=-60\,\mu,\\ \gamma_{xy}=+400\,\mu.
  1. \epsilon_z:
\epsilon_z=-\tfrac{1}{3}(-260-60)=-\tfrac{1}{3}(-320)=+106{,}666\ldots\,\mu\approx+106{,}667\,\mu.
  1. Média e termos:
\bar\epsilon=\frac{-260-60}{2}=-160\,\mu, \qquad \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{-260-(-60)}{2}=\frac{-200}{2}=-100\,\mu, \qquad \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{400}{2}=200\,\mu.
R=\sqrt{(-100)^2+200^2}=\sqrt{10000+40000}=\sqrt{50000}\approx223{,}607\,\mu.
  1. Principais no plano:
\epsilon_1=-160+223{,}607=63{,}607\,\mu, \qquad \epsilon_2=-160-223{,}607=-383{,}607\,\mu.
  1. Direção:
\tan(2\theta_p)=\frac{400}{-260-(-60)}=\frac{400}{-200}=-2,
2\theta_p=\arctan(-2)\approx -63{,}435^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_p\approx -31{,}718^\circ.
  1. Cisalhamento máximo no plano:
\gamma_{\text{max, plano}}=\epsilon_1-\epsilon_2=63{,}607-(-383{,}607)=447{,}214\,\mu.
  1. Cisalhamento máximo 3D:
    \epsilon_3\approx+106{,}667\,\mu. Ordenando: \epsilon_{\max}=106{,}667,\\ \epsilon_{\text{meio}}=63{,}607,\\ \epsilon_{\min}=-383{,}607.
    Maior diferença:
\epsilon_{\max}-\epsilon_{\min}=106{,}667-(-383{,}607)=490{,}274\,\mu.
Portanto
\gamma_{\text{max, 3D}}=490{,}274\,\mu.

Resposta

Caso 1:
(a) \epsilon_1=750\,\mu,\\ \epsilon_2=-150\,\mu,\\ \theta_p\approx -26{,}565^\circ.
(b) \gamma_{\text{max, plano}}=900\,\mu.
(c) \gamma_{\text{max, 3D}}=950\,\mu.
Caso 2:
(a) \epsilon_1\approx278{,}636\,\mu,\\ \epsilon_2\approx-598{,}636\,\mu,\\ \theta_p\approx -21{,}650^\circ.
(b) \gamma_{\text{max, plano}}\approx877{,}273\,\mu.
(c) \gamma_{\text{max, 3D}}\approx877{,}273\,\mu.
Caso 3:
(a) \epsilon_1\approx-298{,}444\,\mu,\\ \epsilon_2\approx-701{,}556\,\mu,\\ \theta_p\approx -30{,}128^\circ.
(b) \gamma_{\text{max, plano}}\approx403{,}111\,\mu.
(c) \gamma_{\text{max, 3D}}\approx1\,034{,}889\,\mu.
Caso 4:
(a) \epsilon_1\approx63{,}607\,\mu,\\ \epsilon_2\approx-383{,}607\,\mu,\\ \theta_p\approx -31{,}718^\circ.
(b) \gamma_{\text{max, plano}}\approx447{,}214\,\mu.
(c) \gamma_{\text{max, 3D}}\approx490{,}274\,\mu.

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