Os seguintes estados de deformação foram medidos na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. Use
.
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Passo 1
O enunciado fornece quatro estados de deformação medidos na superfície de uma placa fina e pede para cada estado:
- (a) a direção e a intensidade das deformações principais;
- (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (plano da placa);
- (c) a deformação de cisalhamento máxima (considerando o estado tridimensional decorrente da condição de superfície livre).
Dados (cada linha em
, unidades de deformação absoluta):
Constante elástica dada:
.
As perguntas são essas três (a), (b), (c) para cada uma das quatro linhas acima.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que usaremos (explicadas passo a passo):
- Condição de superfície livre (placa fina, superfície livre de tensão normal out-of-plane) implica tensão
. Em regime de pequenas deformações e comportamento linear elástico, a deformação na direção (espessura) fica relacionada por Poisson:
Aqui
são deformações normais no plano e
é o coeficiente de Poisson.
- Representação do tensor de deformação plano (usamos
como a “deformação de cisalhamento de engenharia”; a componente de tensor é ). Para achar deformações principais (autovalores do tensor), usamos as fórmulas clássicas:
- média das deformações normais no plano:
- raio da circunferência de Mohr para deformações:
- as deformações principais no plano são
onde
é a maior (máxima) e
a menor (in-plane).
- a direção (ângulo)
da deformação principal (medida a partir do eixo , ângulo positivo no sentido anti-horário) satisfaz
Em prática computamos
e então
. Há ambiguidade de
(duas direções principais), escolhemos a associada a
.
- Deformação de cisalhamento máxima no plano (engenharia) é a diferença entre as deformações principais no plano:
Isto representa a maior deformação de cisalhamento que aparece em algum plano do próprio plano
.
- Deformação de cisalhamento máxima no estado tridimensional (considerando
): primeiro obtemos as três deformações principais (onde aqui será a terceira principal, tipicamente associada à direção depois de ordenar os autovalores). No nosso caso, já temos duas autovalores no plano e a terceira é simplesmente (por construção do problema de placa, os eixos principais tridimensionais serão uma permutação desses valores). A deformação de cisalhamento máxima (engenharia) em 3D é o máximo entre as diferenças de pares de deformações principais:
(Na prática, como
por definição no plano, esta expressão reduz-se ao maior dos três valores
.)
Observação sobre sinais e orientação: o ângulo calculado por
pode dar valores negativos; isso indica rotação no sentido horário. Podemos reportar
como valor negativo (horário) ou converter para um ângulo positivo somando
se desejarmos, lembrando que direções de eixos principais se repetem a cada
.
Passo 3
Agora vamos resolver caso a caso aplicando as fórmulas. Vou mostrar as contas detalhadas.
Caso 1:
- Calcular
:
- Média e termos para
:
- Deformações principais no plano:
- Direção da deformação principal (máxima):
(ou seja,
no sentido horário a partir do eixo
; a outra direção principal está a
.)
- Deformação de cisalhamento máxima no plano:
- Deformação principal terceira e cisalhamento máximo 3D:
Terceira deformação principal (da espessura) já calculada.
Diferenças:
Logo
Passo 4
Caso 2:
-
:
- Média e termos:
- Principais no plano:
- Direção:
- Cisalhamento máximo no plano:
- Cisalhamento máximo 3D:
. Ordenando:
Diferenças maiores:
Assim
Passo 5
Caso 3:
-
:
- Média e termos:
- Principais no plano:
- Direção:
- Cisalhamento máximo no plano:
- Cisalhamento máximo 3D:
. Ordenando:
Maior diferença:
Portanto
Passo 6
Caso 4:
-
:
- Média e termos:
- Principais no plano:
- Direção:
- Cisalhamento máximo no plano:
- Cisalhamento máximo 3D:
. Ordenando:
Maior diferença:
Portanto
Resposta
Caso 1:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)
Caso 2:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)
Caso 3:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)
Caso 4:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)