( 3,0 pontos) Considere um sistema massa-mola-amortecedor com os seguintes parâmetros: \mathrm{k}=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ; \mathrm{m}=10 \mathrm{~kg} e \mathrm{c}=40 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}. Considere o deslocamento inicial de 0,1 \mathrm{~m} e a velocidade inicial zero. Determine:
a. Os valores de \zeta e \omega_{d};
b. A resposta homogênea do sistema;
c. A resposta total do sistema considerando a força externa F(t)=200 \cos (20 t) N agindo no sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor com os parâmetros e condições iniciais seguintes:
k=4000\\ \mathrm{N/m},\quad m=10\\ \mathrm{kg},\quad c=40\\ \mathrm{N\cdot s/m},
deslocamento inicial x(0)=0,1\\ \mathrm{m} e velocidade inicial \dot{x}(0)=0. Pede-se:
a) os valores de \zeta e \omega_d;
b) a resposta homogênea (resposta livre) do sistema;
c) a resposta total quando existe a força externa F(t)=200\cos(20t)\\ \mathrm{N}.
Todas as informações relevantes do enunciado estão listadas acima; a partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento do sistema:
m\ddot{x}+c\dot{x}+k x = F(t).
Explicando as quantidades: x(t) é o deslocamento, \dot{x} a velocidade, \ddot{x} a aceleração; m massa, c amortecimento viscoso, k rigidez, e F(t) força externa. Para estudar a dinâmica natural definimos:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\text{(frequência natural não amortecida)}êã
e
\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}\quad\text{(razão de amortecimento)}.ã
Calculando \omega_n:
\omega_n=\sqrt{\frac{4000}{10}}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
Calculando \zeta:
\zeta=\frac{40}{2\cdot 10\cdot 20}=\frac{40}{400}=0,1.
Como \zeta<1, o sistema é subamortecido. A frequência amortecida é
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=20\sqrt{1-0,1^2}=20\sqrt{0,99}\approx 19,90\\ \mathrm{rad/s}.
(Interpretação: \omega_d é a frequência de oscilação quando há amortecimento; \zeta\omega_n é a taxa exponencial de decaimento.)

Passo 3

Agora a resposta homogênea (solução da equação com F(t)=0) para o caso subamortecido tem a forma padrão:
x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\left(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\right).
Aqui A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Explicando: o fator e^{-\zeta\omega_n t} representa o decaimento exponencial devido ao amortecimento; o par \cos,\sin dá a oscilação com frequência \omega_d.
Usamos as condições iniciais para achar A e B. Em t=0:
x_h(0)=A= x(0)=0,1.
Derivando x_h(t):
\dot{x}_h(t)=-\zeta\omega_n e^{-\zeta\omega_n t}\big(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t\big) + e^{-\zeta\omega_n t}\big(-A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t\big).
Em t=0 isso vira
\dot{x}_h(0)=-\zeta\omega_n A + B\omega_d.
Impondo \dot{x}_h(0)=0 (velocidade inicial nula) e usando A=0,1:
0=-\zeta\omega_n(0,1)+B\omega_d \quad\Rightarrow\quad B=\frac{\zeta\omega_n(0,1)}{\omega_d}.
Calculando numericamente: \zeta\omega_n=0,1\cdot20=2 e então
B=\frac{2\cdot 0,1}{19,8997\ldots}=\frac{0,2}{19,8997\ldots}\approx 0,01005.

Passo 4

Escrevendo a resposta homogênea final com os valores numéricos achados:
x_h(t)=e^{-2t}\Big(0,1\cos(19,8997\,t)+0,01005\sin(19,8997\,t)\Big),
onde usei \zeta\omega_n=2\\ \mathrm{s^{-1}} e \omega_d\approx 19,8997\\ \mathrm{rad/s}. Observação intuitiva: a amplitude decai exponencialmente pela taxa 2 e as oscilações são aproximadamente de frequência 19,90\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora tratamos a resposta total com a força externa F(t)=200\cos(20t). Procuramos uma solução particular de regime permanente da forma
x_p(t)=X\cos(20t-\varphi),
onde X é a amplitude e \varphi a defasagem. Para sistemas massa-mola-amortecedor a amplitude em regime permanente é dada por
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},
onde F_0=200 é a amplitude da força e \omega=20\\ \mathrm{rad/s} é a frequência da força. Aqui
k-m\omega^2=4000-10\cdot 20^2=4000-4000=0.
Então o denominador simplifica para \sqrt{0^2+(c\omega)^2}=c\omega. Calculando:
c\omega=40\cdot 20=800,
X=\frac{200}{800}=0,25\\ \mathrm{m}.
A defasagem \varphi satisfaz
\varphi=\arctan\!\left(\frac{c\omega}{k-m\omega^2}\right)=\arctan\!\left(\frac{800}{0}\right)=\frac{\pi}{2}.
Portanto podemos escrever a solução particular de forma simples:
x_p(t)=0,25\cos(20t-\tfrac{\pi}{2})=0,25\sin(20t).
Comentário físico: aqui \omega=20 coincide com \omega_n=20, então temos condição de ressonância ideal em termos de rigidez/masse, mas a amplitude fica finita graças ao amortecimento; a amplitude é 0,25\\ \mathrm{m}.

Passo 6

A solução geral total é a soma da homogênea (mas agora com constantes ajustadas às condições iniciais em presença de x_p) e da particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\big(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\big) + 0,25\sin(20t).
As constantes C_1,C_2 são determinadas pelas condições iniciais totais x(0)=0,1 e \dot{x}(0)=0. Em t=0:
x(0)=C_1 + 0 = 0,1 \quad\Rightarrow\quad C_1=0,1.
A derivada total é
\dot{x}(t)=\dot{x}_h(t)+\dot{x}_p(t).
Em t=0 usamos a expressão já derivada para a parte homogênea:
\dot{x}_h(0)=-\zeta\omega_n C_1 + C_2\omega_d = -2C_1 + C_2\omega_d.
E para a particular:
\dot{x}_p(t)=0,25\cdot 20\cos(20t)=5\cos(20t)\quad\Rightarrow\quad \dot{x}_p(0)=5.
Impondo \dot{x}(0)=0:
0=\dot{x}_h(0)+\dot{x}_p(0)=-2C_1 + C_2\omega_d +5.
Substituindo C_1=0,1:
0=-2(0,1)+C_2\omega_d +5 \quad\Rightarrow\quad C_2\omega_d = -5 +0,2 = -4,8.
Logo
C_2=\frac{-4,8}{\omega_d}\approx\frac{-4,8}{19,8997}\approx -0,2414.

Passo 7

Escrevendo a resposta total final com os valores numéricos arredondados razoavelmente:
x(t)=e^{-2t}\big(0,1\cos(19,8997\,t)-0,2414\sin(19,8997\,t)\big)+0,25\sin(20t).
Interpretação final rápida: a primeira parcela é a resposta transitória que decai exponencialmente (taxa 2); a segunda parcela 0,25\sin(20t) é o regime permanente (resposta forçada). Para t\to\infty a solução tende a 0,25\sin(20t).

Resposta

a) \zeta=0,1,\quad \omega_d\approx 19,90\\ \mathrm{rad/s}.
b) x_h(t)=e^{-2t}\big(0,1\cos(19,8997\,t)+0,01005\sin(19,8997\,t)\big).
c) x(t)=e^{-2t}\big(0,1\cos(19,8997\,t)-0,2414\sin(19,8997\,t)\big)+0,25\sin(20t).

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