( 3,0 pontos) Considere um sistema massa-mola-amortecedor com os seguintes parâmetros:
e
. Considere o deslocamento inicial de
e a velocidade inicial zero. Determine:
a. Os valores de
e
;
b. A resposta homogênea do sistema;
c. A resposta total do sistema considerando a força externa
agindo no sistema.
a. Os valores de
b. A resposta homogênea do sistema;
c. A resposta total do sistema considerando a força externa
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor com os parâmetros e condições iniciais seguintes:
deslocamento inicial
e velocidade inicial
. Pede-se:
a) os valores de e
;
b) a resposta homogênea (resposta livre) do sistema;
c) a resposta total quando existe a força externa .
a) os valores de
b) a resposta homogênea (resposta livre) do sistema;
c) a resposta total quando existe a força externa
Todas as informações relevantes do enunciado estão listadas acima; a partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento do sistema:
Explicando as quantidades:
é o deslocamento,
a velocidade,
a aceleração;
massa,
amortecimento viscoso,
rigidez, e
força externa. Para estudar a dinâmica natural definimos:
e
Calculando
:
Calculando
:
Como
, o sistema é subamortecido. A frequência amortecida é
(Interpretação:
é a frequência de oscilação quando há amortecimento;
é a taxa exponencial de decaimento.)
Passo 3
Agora a resposta homogênea (solução da equação com
) para o caso subamortecido tem a forma padrão:
Aqui
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Explicando: o fator
representa o decaimento exponencial devido ao amortecimento; o par
dá a oscilação com frequência
.
Usamos as condições iniciais para achar
e
. Em
:
Derivando
:
Em
isso vira
Impondo
(velocidade inicial nula) e usando
:
Calculando numericamente:
e então
Passo 4
Escrevendo a resposta homogênea final com os valores numéricos achados:
onde usei
e
. Observação intuitiva: a amplitude decai exponencialmente pela taxa
e as oscilações são aproximadamente de frequência
.
Passo 5
Agora tratamos a resposta total com a força externa
. Procuramos uma solução particular de regime permanente da forma
onde
é a amplitude e
a defasagem. Para sistemas massa-mola-amortecedor a amplitude em regime permanente é dada por
onde
é a amplitude da força e
é a frequência da força. Aqui
Então o denominador simplifica para
. Calculando:
A defasagem
satisfaz
Portanto podemos escrever a solução particular de forma simples:
Comentário físico: aqui
coincide com
, então temos condição de ressonância ideal em termos de rigidez/masse, mas a amplitude fica finita graças ao amortecimento; a amplitude é
.
Passo 6
A solução geral total é a soma da homogênea (mas agora com constantes ajustadas às condições iniciais em presença de
) e da particular:
As constantes
são determinadas pelas condições iniciais totais
e
. Em
:
A derivada total é
Em
usamos a expressão já derivada para a parte homogênea:
E para a particular:
Impondo
:
Substituindo
:
Logo
Passo 7
Escrevendo a resposta total final com os valores numéricos arredondados razoavelmente:
Interpretação final rápida: a primeira parcela é a resposta transitória que decai exponencialmente (taxa
); a segunda parcela
é o regime permanente (resposta forçada). Para
a solução tende a
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)