Um bêbado inicia o movimento unidimensional a partir de um poste de luz, realizando passos de igual comprimento para a esquerda ou para a direita com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que a pessoa irá novamente estar no poste de luz após
passos,
a) Se
é um número ímpar?
b) Se
é um númeor par?
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Uma pessoa começa no poste de luz (posição inicial zero).
- Em cada passo ela anda um comprimento fixo para a esquerda ou para a direita, com probabilidade igual de escolher cada direção.
- O movimento é unidimensional e cada passo é independente dos outros.
O enunciado pede:
(a) Qual é a probabilidade de a pessoa voltar ao poste após passos quando
é ímpar?
(b) Qual é a probabilidade de a pessoa voltar ao poste após passos quando
é par?
(a) Qual é a probabilidade de a pessoa voltar ao poste após
(b) Qual é a probabilidade de a pessoa voltar ao poste após
Passo 2
Entender a paridade (ímpar/par) da posição final: represente cada passo por uma variável
que vale
se o passo foi para a direita e
se o passo foi para a esquerda. A posição após
passos é
Observe o que acontece com
módulo
. Como
, cada
é congruente a
módulo
. Logo
Isto mostra que a paridade de
é sempre a mesma de
: se
é ímpar então
é ímpar; se
é par então
é par.
Passo 3
Aplicando o resultado de paridade à pergunta (a): para a pessoa voltar ao poste precisamos ter
. Mas
é um número par. Pelo passo anterior, se
é ímpar então
é ímpar e, portanto, não pode ser zero. Conclusão imediata:
Passo 4
Agora trate o caso
par. Escreva
com
inteiro não-negativo. Para terminar na posição
depois de
passos é necessário ter exatamente o mesmo número de passos para a direita e para a esquerda. Sejam:
-
o número de passos para a direita, -
o número de passos para a esquerda.
A condição para
é
Portanto é preciso ter exatamente
passos para a direita e
para a esquerda.
Passo 5
Contagem dos caminhos favoráveis: entre os
passos, basta escolher quais
posições serão passos para a direita. O número de maneiras de fazer isso é o coeficiente binomial
Este é o número de sequências de
passos que possuem exatamente
direitos e
esquerdos.
Passo 6
Probabilidade de cada sequência específica: como cada passo é independente e tem probabilidade
para cada direção, a probabilidade de uma sequência com
passos fixados é
Somando sobre todas as sequências favoráveis (que são
delas) obtemos a probabilidade total de voltar ao poste:
Voltando a usar
temos a forma em termos de
:
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
- Para
(ou seja ) a probabilidade é . - Para
(ou seja ) a probabilidade é .
Passo 8
Dica prática para prova (resumindo o procedimento): primeiro cheque a paridade de
. Se
for ímpar já responde
. Se
for par escreva
e calcule
(ou deixe na forma
se preferir).
Resposta
(a)
(b)