Um bêbado inicia o movimento unidimensional a partir de um poste de luz, realizando passos de igual comprimento para a esquerda ou para a direita com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que a pessoa irá novamente estar no poste de luz após N passos,
a) Se N é um número ímpar?
b) Se N é um númeor par?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma pessoa começa no poste de luz (posição inicial zero).
  • Em cada passo ela anda um comprimento fixo para a esquerda ou para a direita, com probabilidade igual de escolher cada direção.
  • O movimento é unidimensional e cada passo é independente dos outros.
O enunciado pede:
(a) Qual é a probabilidade de a pessoa voltar ao poste após N passos quando N é ímpar?
(b) Qual é a probabilidade de a pessoa voltar ao poste após N passos quando N é par?

Passo 2

Entender a paridade (ímpar/par) da posição final: represente cada passo por uma variável S_i que vale +1 se o passo foi para a direita e -1 se o passo foi para a esquerda. A posição após N passos é
X_N=\sum_{i=1}^{N} S_i.
Observe o que acontece com X_N módulo 2. Como -1\equiv 1\pmod{2}, cada S_i é congruente a 1 módulo 2. Logo
X_N \equiv \sum_{i=1}^{N} 1 \equiv N \pmod{2}.
Isto mostra que a paridade de X_N é sempre a mesma de N: se N é ímpar então X_N é ímpar; se N é par então X_N é par.

Passo 3

Aplicando o resultado de paridade à pergunta (a): para a pessoa voltar ao poste precisamos ter X_N=0. Mas 0 é um número par. Pelo passo anterior, se N é ímpar então X_N é ímpar e, portanto, não pode ser zero. Conclusão imediata:
\text{se \(N\) é ímpar, a probabilidade de voltar ao poste é }0.éíé

Passo 4

Agora trate o caso N par. Escreva N=2n com n inteiro não-negativo. Para terminar na posição 0 depois de 2n passos é necessário ter exatamente o mesmo número de passos para a direita e para a esquerda. Sejam:
  • k o número de passos para a direita,
  • 2n-k o número de passos para a esquerda.
A condição para X_{2n}=0 é
k-(2n-k)=0\quad\Rightarrow\quad k=n.
Portanto é preciso ter exatamente n passos para a direita e n para a esquerda.

Passo 5

Contagem dos caminhos favoráveis: entre os 2n passos, basta escolher quais n posições serão passos para a direita. O número de maneiras de fazer isso é o coeficiente binomial
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\,n!}.
Este é o número de sequências de 2n passos que possuem exatamente n direitos e n esquerdos.

Passo 6

Probabilidade de cada sequência específica: como cada passo é independente e tem probabilidade 1/2 para cada direção, a probabilidade de uma sequência com 2n passos fixados é
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n}.
Somando sobre todas as sequências favoráveis (que são \binom{2n}{n} delas) obtemos a probabilidade total de voltar ao poste:
\binom{2n}{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n}.
Voltando a usar N=2n temos a forma em termos de N:
\text{se \(N\) é par, a probabilidade é }\binom{N}{N/2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{N}.éé

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Para N=2 (ou seja n=1) a probabilidade é \binom{2}{1}2^{-2}=2/4=1/2.
  • Para N=4 (ou seja n=2) a probabilidade é \binom{4}{2}2^{-4}=6/16=3/8.

Passo 8

Dica prática para prova (resumindo o procedimento): primeiro cheque a paridade de N. Se N for ímpar já responde 0. Se N for par escreva N=2n e calcule \binom{2n}{n}2^{-2n} (ou deixe na forma \binom{N}{N/2}2^{-N} se preferir).

Resposta

(a) 0
(b) \displaystyle \binom{N}{N/2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{N}

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