Exercício 3: Um robô industrial tem 10 ciclos de operação. A probabilidade de falha em cada ciclo é 0,02 . Qual a probabilidade de ocorrer no máximo 1 falha?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Número de ciclos (tentativas): n=10.
  • Probabilidade de falha em cada ciclo: p=0,02.
  • Pressupõe-se que cada ciclo é independente (a falha em um ciclo não altera a prob. nos outros).
O que a questão pede:
  • Calcular a probabilidade de ocorrer no máximo 1 falha entre os 10 ciclos, isto é, a probabilidade de ocorrer 0 ou 1 falha.

Passo 2

Qual modelo estatístico usar e por quê (explicação didática)?
  • Quando temos um número fixo de tentativas n, cada tentativa tem só dois resultados possíveis (sucesso = sem falha, fracasso = falha), e a probabilidade de “sucesso”/“fracasso” é a mesma em cada tentativa e são independentes, o modelo adequado é a distribuição binomial.
  • Seja X a variável aleatória “número de falhas em 10 ciclos”. Então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p, que escrevemos X \sim \text{Bin}(n,p).
Fórmula da distribuição binomial (explicando cada símbolo):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • P(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k falhas.
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas falham entre as n (combinações). A fórmula de \binom{n}{k} é \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
  • p^{k} é a probabilidade das k falhas ocorrerem.
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade das n-k tentativas restantes não falharem.
O que queremos é P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1).

Passo 3

Calcular P(X=0).
Aplicando a fórmula com n=10, p=0,02 e k=0:
P(X=0)=\binom{10}{0}\,0{,}02^{0}\,0{,}98^{10}.
Como \binom{10}{0}=1 e 0{,}02^{0}=1, fica
P(X=0)=0{,}98^{10}.
Vamos calcular 0{,}98^{10} passo a passo (multiplicações sucessivas):
0{,}98^{2}=0{,}9604,
0{,}98^{3}=0{,}9604\times0{,}98=0{,}941192,
0{,}98^{4}=0{,}941192\times0{,}98=0{,}92236816,
0{,}98^{5}=0{,}92236816\times0{,}98=0{,}9039207968,
0{,}98^{6}=0{,}9039207968\times0{,}98=0{,}885842380864,
0{,}98^{7}=0{,}885842380864\times0{,}98=0{,}86812553324672,
0{,}98^{8}=0{,}86812553324672\times0{,}98=0{,}8507630225817856,
0{,}98^{9}=0{,}8507630225817856\times0{,}98=0{,}8337477621301519,
0{,}98^{10}=0{,}8337477621301519\times0{,}98=0{,}8170728068875488.
Portanto
P(X=0)\approx0{,}8170728069.

Passo 4

Calcular P(X=1).
Aplicando a fórmula com k=1:
P(X=1)=\binom{10}{1}\,0{,}02^{1}\,0{,}98^{9}.
Sabemos \binom{10}{1}=10, então
P(X=1)=10\times0{,}02\times0{,}98^{9}.
Calcule 10\times0{,}02=0{,}2. Usando o valor já calculado de 0{,}98^{9}:
P(X=1)=0{,}2\times0{,}8337477621301519=0{,}16674955242603038.
Arredondando sensatamente:
P(X=1)\approx0{,}1667495524.

Passo 5

Somar as duas probabilidades para obter “no máximo 1 falha”:
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1).
Substituindo os valores:
P(X\le1)\approx0{,}8170728068875488+0{,}16674955242603038=0{,}9838223593135792.
Arredondando para 4 casas decimais (útil na prova):
P(X\le1)\approx0{,}9838.
Comentário útil (cheque rápido): para n pequeno e p pequeno, uma verificação rápida é a aproximação de Poisson com \lambda=np. Aqui \lambda=10\times0{,}02=0{,}2. A probabilidade aproximada então é
P(X\le1)\approx e^{-\lambda}(1+\lambda)=e^{-0{,}2}\times1{,}2\approx0{,}9825,
que está bem próxima do valor exato 0{,}9838. Isso dá confiança no resultado e é uma técnica prática para prova quando não se pode multiplicar muitas potências.

Resposta

0,9838223593

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