Exercício 3: Um robô industrial tem 10 ciclos de operação. A probabilidade de falha em cada ciclo é 0,02 . Qual a probabilidade de ocorrer no máximo 1 falha?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Número de ciclos (tentativas):
. - Probabilidade de falha em cada ciclo:
. - Pressupõe-se que cada ciclo é independente (a falha em um ciclo não altera a prob. nos outros).
O que a questão pede:
- Calcular a probabilidade de ocorrer no máximo 1 falha entre os
ciclos, isto é, a probabilidade de ocorrer ou falha.
Passo 2
Qual modelo estatístico usar e por quê (explicação didática)?
- Quando temos um número fixo de tentativas
, cada tentativa tem só dois resultados possíveis (sucesso = sem falha, fracasso = falha), e a probabilidade de “sucesso”/“fracasso” é a mesma em cada tentativa e são independentes, o modelo adequado é a distribuição binomial. - Seja
a variável aleatória “número de falhas em ciclos”. Então segue uma distribuição binomial com parâmetros e , que escrevemos .
Fórmula da distribuição binomial (explicando cada símbolo):
Aqui:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente falhas. -
é o número de maneiras de escolher quais tentativas falham entre as (combinações). A fórmula de é . -
é a probabilidade das falhas ocorrerem. -
é a probabilidade das tentativas restantes não falharem.
O que queremos é
.
Passo 3
Calcular
.
Aplicando a fórmula com
,
e
:
Como
e
, fica
Vamos calcular
passo a passo (multiplicações sucessivas):
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Aplicando a fórmula com
:
Sabemos
, então
Calcule
. Usando o valor já calculado de
:
Arredondando sensatamente:
Passo 5
Somar as duas probabilidades para obter “no máximo 1 falha”:
Substituindo os valores:
Arredondando para 4 casas decimais (útil na prova):
Comentário útil (cheque rápido): para
pequeno e
pequeno, uma verificação rápida é a aproximação de Poisson com
. Aqui
. A probabilidade aproximada então é
que está bem próxima do valor exato
. Isso dá confiança no resultado e é uma técnica prática para prova quando não se pode multiplicar muitas potências.