Exercício 4: Um controlador recebe em média 3 pacotes por segundo.Qual a probabilidade de receber exatamente 5 pacotes em 1 segundo?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a taxa média de recebimento é \lambda=3 pacotes por segundo (ou seja, em um intervalo de duração \,1 segundo a média é \,3 pacotes).
  • Pergunta: qual a probabilidade de receber exatamente \,5 pacotes no intervalo de \,1 segundo?

Passo 2

Escolhendo o modelo e explicando a fórmula que vamos usar (sem pular etapas).
  • Quando o que se conta é o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo fixo, e esses eventos são independentes e ocorrem com uma taxa média constante, o modelo padrão é a distribuição de Poisson.
  • Definição e fórmula da distribuição de Poisson: se X é o número de eventos em um intervalo e a média (ou taxa esperada) nesse intervalo é \lambda, então a probabilidade de observar exatamente k eventos é dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável aleatória “número de pacotes recebidos no intervalo considerado”.
  • \lambda é o valor esperado (média) de X no intervalo; aqui \lambda=3.
  • k é o número exato de eventos cujo valor queremos (aqui k=5).
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828\ldots).
  • k! é o fatorial de k (produto 1\cdot2\cdot\ldots\cdot k).
  • Justificativa rápida: o enunciado deu uma taxa média por unidade de tempo e pede a probabilidade de um certo número de ocorrências em um intervalo de duração \,1 segundo — isso encaixa exatamente no uso da Poisson.

Passo 3

Aplicando a fórmula com \lambda=3 e k=5.
  • Substituindo na fórmula:
P(X=5)=e^{-3}\,\frac{3^{5}}{5!}.
  • Calculemos passo a passo as partes aritméticas que dá para fazer sem calculadora:
    • 3^{5}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243.
    • 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120.
    • Portanto
P(X=5)=e^{-3}\,\frac{243}{120}.
  • Simplificando a fração \dfrac{243}{120}: dividir numerador e denominador por 3 \dfrac{81}{40}. Em forma decimal exata dessa fração temos \dfrac{81}{40}=2,025.
  • Logo temos também a forma
P(X=5)=\frac{81}{40}\,e^{-3}=2,025\,e^{-3}.

Passo 4

Obter uma aproximação numérica (útil na prova se for pedido o valor numérico).
  • Uma aproximação conhecida é e^{-3}\approx0,04978707.
  • Multiplicando 2,025 por 0,04978707 (faça em duas etapas para evitar erro):
    • 2\cdot0,04978707=0,09957414.
    • 0,025\cdot0,04978707=0,00124468 (aprox).
    • Somando: 0,09957414+0,00124468\approx0,10081882.
  • Arredondando de forma razoável, P(X=5)\approx0,10082, ou em porcentagem cerca de 10,082\%.
Dica rápida para a prova: se não for necessário dar valor numérico, entregue a expressão \;e^{-3}\dfrac{3^{5}}{5!}\; — é exata e demonstra que você usou o modelo correto. Se pedirem número, calcule 3^{5} e 5! à mão e multiplique por uma tabela/valor aproximado de e^{-3}.

Resposta

\displaystyle P(X=5)=e^{-3}\,\frac{3^{5}}{5!}=\frac{81}{40}\,e^{-3}\approx0,10082

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