Exercício 4: Um controlador recebe em média 3 pacotes por segundo.Qual a probabilidade de receber exatamente 5 pacotes em 1 segundo?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a taxa média de recebimento é
pacotes por segundo (ou seja, em um intervalo de duração segundo a média é pacotes). - Pergunta: qual a probabilidade de receber exatamente
pacotes no intervalo de segundo?
Passo 2
Escolhendo o modelo e explicando a fórmula que vamos usar (sem pular etapas).
- Quando o que se conta é o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo fixo, e esses eventos são independentes e ocorrem com uma taxa média constante, o modelo padrão é a distribuição de Poisson.
- Definição e fórmula da distribuição de Poisson: se
é o número de eventos em um intervalo e a média (ou taxa esperada) nesse intervalo é , então a probabilidade de observar exatamente eventos é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a variável aleatória “número de pacotes recebidos no intervalo considerado”. -
é o valor esperado (média) de no intervalo; aqui . -
é o número exato de eventos cujo valor queremos (aqui ). -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente ). -
é o fatorial de (produto ). - Justificativa rápida: o enunciado deu uma taxa média por unidade de tempo e pede a probabilidade de um certo número de ocorrências em um intervalo de duração
segundo — isso encaixa exatamente no uso da Poisson.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
.
- Substituindo na fórmula:
- Calculemos passo a passo as partes aritméticas que dá para fazer sem calculadora:
-
-
- Portanto
-
- Simplificando a fração
: dividir numerador e denominador por dá . Em forma decimal exata dessa fração temos . - Logo temos também a forma
Passo 4
Obter uma aproximação numérica (útil na prova se for pedido o valor numérico).
- Uma aproximação conhecida é
. - Multiplicando
por (faça em duas etapas para evitar erro): -
. -
(aprox). - Somando:
.
-
- Arredondando de forma razoável,
, ou em porcentagem cerca de .
Dica rápida para a prova: se não for necessário dar valor numérico, entregue a expressão
— é exata e demonstra que você usou o modelo correto. Se pedirem número, calcule
e
à mão e multiplique por uma tabela/valor aproximado de
.