onde
e
são as concentrações molares das espécies e
é o tempo de residência no reator, e
é a concentração de alimentação de
.
a) Determine os pontos de operação estacionário deste modelo para o caso em que
e
.
a) Determine os pontos de operação estacionário deste modelo para o caso em que
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de balanço cinético
e pede: determinar os pontos de operação estacionário (ou pontos de equilíbrio) para os parâmetros
e
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
(unidade , mas aqui usamos só o valor numérico); -
(mol/L); - pontos estacionários são os valores de
que tornam e .
Passo 2
Conceito: ponto de operação estacionário (estado estacionário) é quando as concentrações não mudam no tempo, ou seja quando as derivadas temporais são zero. Logo devemos resolver o sistema de equações obtido impondo
Passo 3
Escrevo as duas equações estacionárias explicitamente (substituindo o zero nas derivadas):
Primeiro simplifico a segunda equação: note que
. Assim a segunda equação vira
Passo 4
Isolo
da segunda equação porque fica simples:
Esse é o
no estado estacionário expresso em termos de
. Vou usar isso depois; agora trato a equação para
.
Passo 5
Escrevo a primeira equação estacionária e elimino denominadores para obter uma equação algébrica em
:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar frações:
Desenvolvo o produto do membro esquerdo:
Coloco tudo em um lado para formar um polinômio igual a zero:
Multiplico por
(para deixar o termo quadrático positivo):
Passo 6
Agora substituo os valores numéricos
e
. Isso dá os coeficientes do quadrático:
Logo a equação em
é
Passo 7
Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para a equação
temos
,
,
. O discriminante é
As raízes são
Faço aproximações numéricas úteis:
Portanto
Passo 8
Agora calculo
correspondente a cada
usando a fórmula que achamos no Passo 4:
Para
:
Logo, usando
, obtemos a forma exata
Valor numérico:
Para
:
Passo 9
Interpretação final: o sistema apresenta dois pontos de operação estacionário (duplo equilíbrio) para os parâmetros dados. Estou listando-os como pares
, dando a forma exata simbólica quando conveniente e a aproximação numérica para conferência.