\begin{aligned} & \frac{d C_{A}}{d t}=\frac{1}{\tau}\left(C_{A, e}-C_{A}\right)-\frac{1}{1+C_{A}} \\\ & \frac{d C_{B}}{d t}=-\frac{1}{\frac{1}{\tau}} C_{B}+\frac{1}{1+C_{A}} \end{aligned}
onde C_{A} e C_{B} são as concentrações molares das espécies e \tau é o tempo de residência no reator, e C_{A, e} é a concentração de alimentação de A.
a) Determine os pontos de operação estacionário deste modelo para o caso em que \tau=3,5 \mathrm{~h}^{-1} e C_{A, e}=3 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de balanço cinético
\frac{d C_{A}}{d t}=\frac{1}{\tau}\left(C_{A,e}-C_{A}\right)-\frac{1}{1+C_{A}}
\frac{d C_{B}}{d t}=-\frac{1}{\frac{1}{\tau}} C_{B}+\frac{1}{1+C_{A}}
e pede: determinar os pontos de operação estacionário (ou pontos de equilíbrio) para os parâmetros \tau=3{,}5 e C_{A,e}=3.
Informações relevantes dadas:
  • \tau=3{,}5 (unidade \mathrm{h}^{-1}, mas aqui usamos só o valor numérico);
  • C_{A,e}=3 (mol/L);
  • pontos estacionários são os valores de (C_A,C_B) que tornam \dfrac{dC_A}{dt}=0 e \dfrac{dC_B}{dt}=0.

Passo 2

Conceito: ponto de operação estacionário (estado estacionário) é quando as concentrações não mudam no tempo, ou seja quando as derivadas temporais são zero. Logo devemos resolver o sistema de equações obtido impondo
\frac{dC_A}{dt}=0,\qquad \frac{dC_B}{dt}=0.

Passo 3

Escrevo as duas equações estacionárias explicitamente (substituindo o zero nas derivadas):
\frac{1}{\tau}\left(C_{A,e}-C_{A}\right)-\frac{1}{1+C_{A}}=0
-\frac{1}{\frac{1}{\tau}}C_{B}+\frac{1}{1+C_{A}}=0.
Primeiro simplifico a segunda equação: note que \dfrac{1}{\frac{1}{\tau}}=\tau. Assim a segunda equação vira
-\tau C_{B}+\frac{1}{1+C_{A}}=0.

Passo 4

Isolo C_B da segunda equação porque fica simples:
-\tau C_{B}+\frac{1}{1+C_{A}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \tau C_{B}=\frac{1}{1+C_{A}}
\therefore\qquad C_{B}=\frac{1}{\tau(1+C_{A})}.
Esse é o C_B no estado estacionário expresso em termos de C_A. Vou usar isso depois; agora trato a equação para C_A.

Passo 5

Escrevo a primeira equação estacionária e elimino denominadores para obter uma equação algébrica em C_A:
\frac{1}{\tau}\left(C_{A,e}-C_{A}\right)=\frac{1}{1+C_{A}}.
Multiplico ambos os lados por \tau(1+C_A) para eliminar frações:
\left(C_{A,e}-C_{A}\right)(1+C_{A})=\tau.
Desenvolvo o produto do membro esquerdo:
C_{A,e}(1+C_A)-C_A(1+C_A)=\tau
C_{A,e}+C_{A,e}C_A - C_A - C_A^2=\tau.
Coloco tudo em um lado para formar um polinômio igual a zero:
- C_A^2 + (C_{A,e}-1)C_A + C_{A,e} - \tau = 0.
Multiplico por -1 (para deixar o termo quadrático positivo):
C_A^2 + (1-C_{A,e}) C_A + (\tau - C_{A,e}) = 0.

Passo 6

Agora substituo os valores numéricos C_{A,e}=3 e \tau=3{,}5. Isso dá os coeficientes do quadrático:
1-C_{A,e}=1-3=-2,\qquad \tau-C_{A,e}=3{,}5-3=0{,}5.
Logo a equação em C_A é
C_A^2 - 2 C_A + 0{,}5 = 0.

Passo 7

Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para a equação a C_A^2 + b C_A + c=0 temos a=1, b=-2, c=0{,}5. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot 0{,}5 = 4 - 2 = 2.
As raízes são
C_A = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
Faço aproximações numéricas úteis:
\sqrt{2}\approx 1{,}41421356 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}70710678.
Portanto
C_{A}^{(1)}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1{,}70710678,
C_{A}^{(2)}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}29289322.

Passo 8

Agora calculo C_B correspondente a cada C_A usando a fórmula que achamos no Passo 4:
C_{B}=\frac{1}{\tau(1+C_{A})},\qquad \tau=3{,}5.
Para C_{A}^{(1)}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
1+C_{A}^{(1)}=2+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4+\sqrt{2}}{2}.
Logo, usando \tau=3{,}5=\dfrac{7}{2}, obtemos a forma exata
C_{B}^{(1)}=\frac{1}{\tau(1+C_{A}^{(1)})}=\frac{2}{\tau(4+\sqrt{2})}=\frac{4}{7(4+\sqrt{2})}.
Valor numérico:
C_{B}^{(1)}\approx\frac{1}{3{,}5\cdot 2{,}70710678}\approx 0{,}10553.
Para C_{A}^{(2)}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
1+C_{A}^{(2)}=2-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4-\sqrt{2}}{2},
C_{B}^{(2)}=\frac{4}{7(4-\sqrt{2})}\approx\frac{1}{3{,}5\cdot 1{,}29289322}\approx 0{,}22106.

Passo 9

Interpretação final: o sistema apresenta dois pontos de operação estacionário (duplo equilíbrio) para os parâmetros dados. Estou listando-os como pares (C_A,C_B), dando a forma exata simbólica quando conveniente e a aproximação numérica para conferência.

Resposta

\displaystyle (C_A,C_B)=\Bigl(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{4}{7(4+\sqrt{2})}\Bigr)\approx(1{,}70710678,\;0{,}10553)
\displaystyle (C_A,C_B)=\Bigl(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{4}{7(4-\sqrt{2})}\Bigr)\approx(0{,}29289322,\;0{,}22106)

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