Considerando o retificador trifásico a diodos em meia ponte com carga resistiva, desenhe a forma de onda de tensão sobre o diodo \mathrm{D}_{1} e desenhe a tensão na carga (descreva quais diodos estão em condução e os ângulos para correta identificação desta forma de onda).

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos: temos um retificador trifásico a diodos em meia ponte com carga resistiva. O objetivo é desenhar (descrever) a forma de onda da tensão sobre o diodo \mathrm{D}_{1} e a forma de onda da tensão na carga, identificando quais diodos conduzem e os ângulos relevantes para identificar corretamente as formas de onda. Vou assumir a fonte trifásica equilibrada e senoidal com neutro disponível e diodos ideais. O diodo \mathrm{D}_{1} está ligado à fase a (ou A). Dados que usarei explicitamente:
\begin{aligned} &\text{Tensão de fase a-neutro: } v_a(\omega t)=V_m\sin(\omega t),\\\ &\text{Tensão de fase b-neutro: } v_b(\omega t)=V_m\sin(\omega t-120^\circ),\\\ &\text{Tensão de fase c-neutro: } v_c(\omega t)=V_m\sin(\omega t+120^\circ). \end{aligned}ããã
O que o enunciado pede:
  • forma de onda de tensão sobre \mathrm{D}_{1} (tensão anódica menos catódica);
  • forma de onda da tensão na carga (tensão de saída DC pulsante);
  • descrever quais diodos estão em condução em cada intervalo e indicar os ângulos de comutação.

Passo 2

Conceito importante e definição da regra de condução (aula rápida): num retificador metade-onda trifásico com diodos ao positivo e neutro disponível, o diodo ligado à fase k conduz quando a tensão dessa fase é a maior entre as três (ou seja, quando v_k é a máxima instantânea). Raciocínio: o diodo conduz se a sua anódica está mais positiva do que a catódica; a catódica está ligada à carga (o ponto de saída), e esse ponto fica igual à maior das três tensões de fase enquanto algum diodo estiver conduzindo. Para diodos ideais, durante a condução a queda no diodo é 0 (anódica = catódica), fora da condução o diodo fica reversamente polarizado (tensão anódica menor que catódica).

Passo 3

Encontrar os ângulos de comutação (onde uma fase deixa de ser a mais positiva e outra passa a ser maior). Igualamos as fases:
\begin{aligned} v_a &= v_b \Rightarrow \sin\theta = \sin(\theta-120^\circ),\\\ v_a &= v_c \Rightarrow \sin\theta = \sin(\theta+120^\circ), \end{aligned}
onde \theta=\omega t. Resolvo passo a passo a primeira:
\sin\theta=\sin(\theta-120^\circ)\Rightarrow \cos\!\big(\theta-60^\circ\big)=0,
isso dá
\theta-60^\circ=90^\circ+k180^\circ \Rightarrow \theta=150^\circ+ k180^\circ.
No intervalo 0^\circ a 360^\circ temos \theta=150^\circ e \theta=330^\circ.
Para a segunda igualdade:
\sin\theta=\sin(\theta+120^\circ)\Rightarrow \cos\!\big(\theta+60^\circ\big)=0,
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\theta+60^\circ=90^\circ+k180^\circ \Rightarrow \theta=30^\circ + k180^\circ.
No intervalo 0^\circ a 360^\circ temos \theta=30^\circ e \theta=210^\circ.

Passo 4

Determinar o intervalo em que v_a é a maior (condição de condução de \mathrm{D}_{1}). Teste num ponto interior: em \theta=90^\circ, temos v_a=V_m, v_b=V_m\sin(-30^\circ)=-\tfrac{1}{2}V_m, v_c=V_m\sin(210^\circ)=-\tfrac{1}{2}V_m. Logo v_a é a maior em torno de \theta=90^\circ. As interseções que delimitam esse intervalo são \theta=30^\circ (onde v_a=v_c) e \theta=150^\circ (onde v_a=v_b). Portanto \mathrm{D}_{1} conduz no intervalo
30^\circ<\omega t<150^\circ,
ou seja, por 120^\circ elétricos. Analogamente, cada diodo conduz por 120^\circ, deslocado de 120^\circ entre si:
\begin{aligned} \mathrm{D}_1 &:\; 30^\circ<\omega t<150^\circ,\\\ \mathrm{D}_2 &:\; 150^\circ<\omega t<270^\circ,\\\ \mathrm{D}_3 &:\; 270^\circ<\omega t<390^\circ\;(\text{equivalente a }270^\circ<\omega t<360^\circ\text{ e }0^\circ<\omega t<30^\circ). \end{aligned}

Passo 5

Tensão na carga (forma de onda): como a saída acompanha a maior fase instantânea, escrevemos a saída em forma peça-a-peça (notar que para diodos ideais a saída é exatamente a fase que conduz):
v_o(\omega t)=\begin{cases} v_a(\omega t)=V_m\sin(\omega t), & 30^\circ<\omega t<150^\circ,\\[6pt] v_b(\omega t)=V_m\sin(\omega t-120^\circ), & 150^\circ<\omega t<270^\circ,\\[6pt] v_c(\omega t)=V_m\sin(\omega t+120^\circ), & 270^\circ<\omega t<390^\circ\\ (\text{ou }270^\circ<\omega t<360^\circ\\ \cup\\\ 0^\circ<\omega t<30^\circ). \end{cases}
Descrição qualitativa: o traço de v_o é uma sequência de três segmentos senoidais, cada um com duração de 120^\circ, recortados da senoide de cada fase. O contorno é um “pulso” senoidal por fase, com transições nos ângulos \omega t=30^\circ,150^\circ,270^\circ (e voltando a 30^\circ no ciclo seguinte). O pico de cada segmento é V_m (quando a respectiva fase passa pelo seu máximo).]

Passo 6

Tensão sobre o diodo \mathrm{D}_{1}\): defino \[v_{D1}(\omega t)=v_a(\omega t)-v_o(\omega t).
Isto é útil porque o diodo vê a diferença entre sua anódica v_a e a catódica (a saída). Para diodo ideal, quando conduz v_{D1}=0; quando bloqueado, v_{D1}<0 e vale a diferença entre v_a e a fase que está conduzindo. Assim escrevemos peça-a-peça:
v_{D1}(\omega t)=\begin{cases} 0, & 30^\circ<\omega t<150^\circ\\ (\text{\(\mathrm{D}_1 conduz}),\[6pt] v_a(\omega t)-v_b(\omega t)=V_m\big[\sin(\omega t)-\sin(\omega t-120^\circ)\big], & 150^\circ<\omega t<270^\circ,\[6pt] v_a(\omega t)-v_c(\omega t)=V_m\big[\sin(\omega t)-\sin(\omega t+120^\circ)\big], & 270^\circ<\omega t<360^\circ\ and\\ 0^\circ<\omega t<30^\circ. \end{cases}]
Observações práticas e interpretação: fora do intervalo de condução v_{D1} é negativo (reversamente polarizado). Em pontos específicos:
\begin{aligned} \omega t=90^\circ &\Rightarrow v_{D1}=0\\ (\text{conduz}),\\\ \omega t=0^\circ &\Rightarrow v_a=0,\\ v_o=v_c=V_m\sin(120^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}V_m,\\ \Rightarrow v_{D1}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}V_m,\\\ \omega t=180^\circ &\Rightarrow v_a=0,\\ v_o=v_b=V_m\sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}V_m,\\ \Rightarrow v_{D1}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}V_m. \end{aligned}
Esses exemplos mostram que a tensão sobre \mathrm{D}_1 é uma função senoidal (diferença de senos) quando bloqueado e zero quando conduzir.]

Passo 7

Comportamento nas comutações e nota prática: nos instantes exatos \omega t=30^\circ,150^\circ,270^\circ duas fases têm exatamente o mesmo valor (por exemplo em \omega t=30^\circ temos v_a=v_c); nesse instante idealmente dois diodos estão em igualdade de tensão e a comutação ocorre (teoricamente um instante em que a corrente troca do diodo anterior para o próximo). Em circuito real há pequeno intervalo de sobreposição por características não ideais; na análise ideal consideramos a comutação instantânea.

Passo 8

Resumo visual-descritivo, para você “imaginar” o gráfico:
  • Tensão na carga v_o: é um sinal pulsante formado por três segmentos senoidais de 120^\circ cada, cada segmento sendo a senoide de uma fase. Transições em \omega t=30^\circ,150^\circ,270^\circ.
  • Tensão sobre \mathrm{D}_1: é zero (linha no eixo) em 30^\circ<\omega t<150^\circ; fora desse intervalo é uma curva negativa dada por V_m[\sin(\omega t)-\sin(\omega t\mp120^\circ)] (valor negativo, pico em magnitude quando a fase que conduz está no seu máximo enquanto v_a está menor).
  • Condução dos diodos:
\mathrm{D}_1:\;30^\circ\to150^\circ,\quad \mathrm{D}_2:\;150^\circ\to270^\circ,\quad \mathrm{D}_3:\;270^\circ\to30^\circ\\ (\text{modo cíclico}).í

Resposta

\mathrm{D}_1\) conduz para \(30^\circ<\omega t<150^\circ\). \(v_o(\omega t)=\begin{cases} V_m\sin(\omega t), & 30^\circ<\omega t<150^\circ,\\[4pt] V_m\sin(\omega t-120^\circ), & 150^\circ<\omega t<270^\circ,\\[4pt] V_m\sin(\omega t+120^\circ), & 270^\circ<\omega t<390^\circ\\ (\text{equiv. }270^\circ\!-\!360^\circ\\ \cup\\\ 0^\circ\!-\!30^\circ). \end{cases}
v_{D1}(\omega t)=\begin{cases} 0, & 30^\circ<\omega t<150^\circ,\\[4pt] V_m\big[\sin(\omega t)-\sin(\omega t-120^\circ)\big], & 150^\circ<\omega t<270^\circ,\\[4pt] V_m\big[\sin(\omega t)-\sin(\omega t+120^\circ)\big], & 270^\circ<\omega t<360^\circ\\ \text{and}\\\ 0^\circ<\omega t<30^\circ. \end{cases}]

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