Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial com condição inicial
Informações dadas:
- A equação diferencial explicitamente relaciona
, e . - A condição inicial é
. - Pedido implícito: encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial (pode ficar em forma implícita se não for possível isolar de maneira prática).
Passo 2
Vou reescrever a equação na forma diferencial padrão
. Começo movendo todos os termos para um lado:
Multiplicando por
:
Assim identificamos
Passo 3
Agora vou checar se a equação é exata. Uma equação
é exata quando
num domínio adequado. Calculo as derivadas parciais:
Como
, temos
logo a equação é exata. (Breve explicação: exatidão significa que existe uma função potencial
tal que
.)
Passo 4
Para achar a função potencial
uso as duas relações
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
Explicação do passo: ao integrar em
aparece uma “constante” de integração que pode depender de
; por isso escrevi
.
Passo 5
Agora obtenho
comparando
com
. Diferencio a expressão obtida para
em relação a
:
Essa expressão deve ser igual a
, ou seja
Cancelando os termos iguais
e
em ambos os lados, sobra
Integro
em relação a
:
pois
.
Passo 6
Assim a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação exata é dada por
, ou seja
Passo 7
Agora imposto a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
Logo
. Portanto a solução particular (implícita) que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): derivando implicitamente a equação acima em relação a
obtemos exatamente a equação original. Resumo do raciocínio: ao derivar
obtemos
que é a equação dada. Isso confirma que não cometemos erro algébrico.