Questão 01
Um bloco de massa
desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. Para puxá-lo, aplica-se uma força horizontal cuja intensidade varia com a posição
segundo a lei
onde
está em metros. O bloco parte do repouso em
.
(A) Escreva a expressão integral que calcula o trabalho
realizado pela força enquanto o bloco se desloca de
até
.
(B) Calcule numericamente o valor de
.
(C) Determine a velocidade final do bloco em
.
(A) Escreva a expressão integral que calcula o trabalho
(B) Calcule numericamente o valor de
(C) Determine a velocidade final do bloco em
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
o bloco parte do repouso em
e desloca-se até
.
Perguntas (o que o exercício pede):
(A) Escrever a expressão integral que calcula o trabalho .
(B) Calcular numericamente o valor de .
(C) Determinar a velocidade final do bloco em .
(A) Escrever a expressão integral que calcula o trabalho
(B) Calcular numericamente o valor de
(C) Determinar a velocidade final do bloco em
Passo 2
Conceito útil (o que significa a integral do item A): quando a força varia com a posição, o trabalho realizado ao deslocar-se de
até
é dado pela soma (integral) dos pequenos trabalhos
. Portanto a expressão pedida em (A) é exatamente a integral definida do enunciado. Escrevo-a explicitamente:
Passo 3
Agora vamos calcular a integral passo a passo (regras usadas): integramos termo a termo usando a regra do poder
para
, e a linearidade da integral.
Antiderivada de cada termo:
Portanto uma primitiva é
Passo 4
Avaliação da integral definida de
a
: aplicamos o teorema fundamental do cálculo e substituímos os limites.
Primeiro calcule a primitiva em
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Em valor decimal:
(arreondando a duas casas decimais).
Passo 5
Agora vamos para (C): usar o teorema trabalho-energia. Ele diz que o trabalho resultante sobre o bloco é igual à variação da energia cinética:
Como o bloco parte do repouso,
. E
. Portanto
Isolando
:
Passo 6
Substituímos
e
. Faça as contas com frações para ficar exato:
Logo
Podemos simplificar
, então
. Em valor numérico:
(arredondando a duas casas decimais).
Resposta
(A)
(B)
(C)
(B)
(C)