Questão 01

Um bloco de massa m=2,5 \mathrm{~kg} desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. Para puxá-lo, aplica-se uma força horizontal cuja intensidade varia com a posição x segundo a lei
F(x)=4 x^{2}-3 x+5 \quad[\mathrm{~N}]
onde x está em metros. O bloco parte do repouso em x=0.
(A) Escreva a expressão integral que calcula o trabalho
W=\int_{0}^{2} F(x) \mathrm{d} x
realizado pela força enquanto o bloco se desloca de x=0 até x=2,0 \mathrm{~m}.
(B) Calcule numericamente o valor de W.
(C) Determine a velocidade final do bloco em m / s.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
m=2{,}5\\ \mathrm{kg},
F(x)=4x^{2}-3x+5\quad[\mathrm{N}],
o bloco parte do repouso em x=0 e desloca-se até x=2{,}0\\ \mathrm{m}.
Perguntas (o que o exercício pede):
(A) Escrever a expressão integral que calcula o trabalho W=\int_{0}^{2}F(x)\,\mathrm{d}x.
(B) Calcular numericamente o valor de W.
(C) Determinar a velocidade final do bloco em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Conceito útil (o que significa a integral do item A): quando a força varia com a posição, o trabalho realizado ao deslocar-se de x=a até x=b é dado pela soma (integral) dos pequenos trabalhos F(x)\,\mathrm{d}x. Portanto a expressão pedida em (A) é exatamente a integral definida do enunciado. Escrevo-a explicitamente:
W=\int_{0}^{2}\bigl(4x^{2}-3x+5\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral passo a passo (regras usadas): integramos termo a termo usando a regra do poder \int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e a linearidade da integral.
Antiderivada de cada termo:
\int 4x^{2}\,\mathrm{d}x = 4\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{4}{3}x^{3},
\int (-3x)\,\mathrm{d}x = -3\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{3}{2}x^{2},
\int 5\,\mathrm{d}x = 5x.
Portanto uma primitiva é
\int \bigl(4x^{2}-3x+5\bigr)\,\mathrm{d}x=\frac{4}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+5x + C.

Passo 4

Avaliação da integral definida de 0 a 2: aplicamos o teorema fundamental do cálculo e substituímos os limites.
Primeiro calcule a primitiva em x=2:
\frac{4}{3}\cdot 2^{3}-\frac{3}{2}\cdot 2^{2}+5\cdot 2 =\frac{4}{3}\cdot 8-\frac{3}{2}\cdot 4+10.
Calcule termo a termo:
\frac{4}{3}\cdot 8=\frac{32}{3},
-\frac{3}{2}\cdot 4=-6,
+10=10.
Somando:
W=\frac{32}{3}-6+10=\frac{32}{3}+4=\frac{32+12}{3}=\frac{44}{3}\\ \text{J}.
Em valor decimal:
\frac{44}{3}\approx 14{,}666\ldots\\ \text{J}\approx 14{,}67\\ \text{J}
(arreondando a duas casas decimais).

Passo 5

Agora vamos para (C): usar o teorema trabalho-energia. Ele diz que o trabalho resultante sobre o bloco é igual à variação da energia cinética:
W=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Como o bloco parte do repouso, K_{\text{inicial}}=0. E K_{\text{final}}=\dfrac{1}{2}mv^{2}. Portanto
\frac{1}{2}mv^{2}=W.
Isolando v:
v=\sqrt{\frac{2W}{m}}.

Passo 6

Substituímos W=\dfrac{44}{3}\\ \text{J} e m=2{,}5\\ \mathrm{kg}=\dfrac{5}{2}\\ \mathrm{kg}. Faça as contas com frações para ficar exato:
\frac{2W}{m}=\frac{2\cdot \dfrac{44}{3}}{\,\dfrac{5}{2}\,} =\frac{\dfrac{88}{3}}{\dfrac{5}{2}}=\frac{88}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{176}{15}.
Logo
v=\sqrt{\frac{176}{15}}= \; \text{(forma exata)}\;.
Podemos simplificar \dfrac{176}{15}=\dfrac{16\cdot 11}{15}, então v=4\sqrt{\dfrac{11}{15}}. Em valor numérico:
v\approx\sqrt{11{,}7333\ldots}\approx 3{,}426\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}43\\ \mathrm{m/s}
(arredondando a duas casas decimais).

Resposta

(A) W=\displaystyle\int_{0}^{2}\bigl(4x^{2}-3x+5\bigr)\,\mathrm{d}x.
(B) W=\dfrac{44}{3}\\ \text{J}\approx 14{,}67\\ \text{J}.
(C) v=\sqrt{\dfrac{176}{15}}\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}43\\ \mathrm{m/s}.

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