\left(\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\right) \frac{d y}{d x}+\frac{x}{2 y^{4}}=0, \quad y(1)=1

Passo 1

O que o problema pede: resolver a equação diferencial com condição inicial e apresentar a solução que satisfaz y(1)=1.
Informações dadas:
\left(\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\right)\frac{d y}{d x}+\frac{x}{2 y^{4}}=0,\qquad y(1)=1.
Não começo a resolver ainda; apenas registrei a equação e a condição inicial para usar depois.

Passo 2

Colocamos a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Multiplicando a equação original por dx obtemos
\frac{x}{2 y^{4}}\,dx+\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\,dy=0.
Logo definimos
M(x,y)=\frac{x}{2 y^{4}},\qquad N(x,y)=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y^{5}}.

Passo 3

Verificamos se a equação é exata. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x}{2 y^{4}}\right)=x\cdot\frac{-4}{2}\,y^{-5}=-2x\,y^{-5},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\right)=\frac{-2x}{y^{5}}=-2x\,y^{-5}.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \frac{\partial \Psi}{\partial x}=M e \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.

Passo 4

Encontramos \Psi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante):
\Psi(x,y)=\int \frac{x}{2 y^{4}}\,dx=\frac{x^{2}}{4 y^{4}}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 5

Agora usamos a condição \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N para determinar h(y). Calculamos \frac{\partial \Psi}{\partial y}:
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{2}}{4 y^{4}}+h(y)\right)=-x^{2}y^{-5}+h'(y).
Impondo que isso seja igual a N(x,y)=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y^{5}}=3y^{-3}-x^{2}y^{-5}, obtemos
-x^{2}y^{-5}+h'(y)=3y^{-3}-x^{2}y^{-5}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=3y^{-3}.
Integramos h'(y):
h(y)=\int 3y^{-3}\,dy=3\cdot\left(-\frac{1}{2}y^{-2}\right)=-\frac{3}{2}y^{-2}+C.
Podemos incorporar a constante C posteriormente na constante final da solução implícita. Assim
\Psi(x,y)=\frac{x^{2}}{4 y^{4}}-\frac{3}{2 y^{2}}.

Passo 6

A condição de exatidão implica que a solução geral implícita é \Psi(x,y)=\text{constante}. Então
\frac{x^{2}}{4 y^{4}}-\frac{3}{2 y^{2}}=C.
Usamos a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituindo x=1 e y=1:
\frac{1^{2}}{4\cdot 1^{4}}-\frac{3}{2\cdot 1^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}-\frac{6}{4}=-\frac{5}{4}.
Portanto C=-\tfrac{5}{4} e a solução implícita é
\frac{x^{2}}{4 y^{4}}-\frac{3}{2 y^{2}}=-\frac{5}{4}.

Passo 7

Simplificamos a equação implícita para deixar em forma mais manejável. Multiplicando ambos os lados por 4:
\frac{x^{2}}{y^{4}}-\frac{6}{y^{2}}=-5.
Passamos tudo para o mesmo lado:
\frac{x^{2}}{y^{4}}-\frac{6}{y^{2}}+5=0.
Fazemos a substituição conveniente u=\frac{1}{y^{2}} (assim u^{2}=\frac{1}{y^{4}}). A equação fica
x^{2}u^{2}-6u+5=0,
que é uma equação quadrática em u.

Passo 8

Resolvemos a quadrática em u usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta=(-6)^{2}-4\cdot x^{2}\cdot 5=36-20x^{2}=4(9-5x^{2}).
Logo
u=\frac{6\pm\sqrt{36-20x^{2}}}{2x^{2}}=\frac{3\pm\sqrt{9-5x^{2}}}{x^{2}}.
Como u=\frac{1}{y^{2}}, obtemos duas ramificações:
\frac{1}{y^{2}}=\frac{3\pm\sqrt{9-5x^{2}}}{x^{2}}.
Usamos a condição inicial para escolher o sinal correto. Em x=1 deve ocorrer \frac{1}{y^{2}}=1. Avaliando as duas opções em x=1:
\frac{3+\sqrt{9-5}}{1^{2}}=3+2=5,\qquad \frac{3-\sqrt{9-5}}{1^{2}}=3-2=1.
A escolha que dá 1 é o sinal menos. Portanto a solução corresponde a
\frac{1}{y^{2}}=\frac{3-\sqrt{9-5x^{2}}}{x^{2}}.

Passo 9

Invertendo para obter y, temos
y^{2}=\frac{x^{2}}{3-\sqrt{9-5x^{2}}}.
Como a condição inicial dá y(1)=1>0, escolhemos a raiz positiva:
y=\frac{x}{\sqrt{\,3-\sqrt{9-5x^{2}}\,}}.
Observação sobre domínio: precisamos de 9-5x^{2}\ge 0 para o radical interno ser real, ou seja |x|\le\frac{3}{\sqrt{5}}. Além disso, a expressão tem x no numerador e x^{2} no denominador na etapa intermediária, de modo que a solução explicitamente escrita vale no intervalo que contenha x=1 e satisfaça |x|\le\frac{3}{\sqrt{5}}. Assim a solução satisfeita pela condição inicial é a fórmula acima, para x próximos de 1 tais que 9-5x^{2}\ge0.

Resposta

y(x)=\dfrac{x}{\sqrt{\,3-\sqrt{9-5x^{2}}\,}}

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