Passo 1
O que o problema pede: resolver a equação diferencial com condição inicial e apresentar a solução que satisfaz
.
Informações dadas:
Não começo a resolver ainda; apenas registrei a equação e a condição inicial para usar depois.
Passo 2
Colocamos a equação na forma diferencial
. Multiplicando a equação original por
obtemos
Logo definimos
Passo 3
Verificamos se a equação é exata. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e
.
Passo 4
Encontramos
integrando
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculamos
:
Impondo que isso seja igual a
, obtemos
Integramos
:
Podemos incorporar a constante
posteriormente na constante final da solução implícita. Assim
Passo 6
A condição de exatidão implica que a solução geral implícita é
. Então
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
Portanto
e a solução implícita é
Passo 7
Simplificamos a equação implícita para deixar em forma mais manejável. Multiplicando ambos os lados por
:
Passamos tudo para o mesmo lado:
Fazemos a substituição conveniente
(assim
). A equação fica
que é uma equação quadrática em
.
Passo 8
Resolvemos a quadrática em
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Logo
Como
, obtemos duas ramificações:
Usamos a condição inicial para escolher o sinal correto. Em
deve ocorrer
. Avaliando as duas opções em
:
A escolha que dá
é o sinal menos. Portanto a solução corresponde a
Passo 9
Invertendo para obter
, temos
Como a condição inicial dá
, escolhemos a raiz positiva:
Observação sobre domínio: precisamos de
para o radical interno ser real, ou seja
. Além disso, a expressão tem
no numerador e
no denominador na etapa intermediária, de modo que a solução explicitamente escrita vale no intervalo que contenha
e satisfaça
. Assim a solução satisfeita pela condição inicial é a fórmula acima, para
próximos de
tais que
.