\begin{aligned} & \text { Questão - Calcule } \int \sqrt{1+x^{2}} d x \text { usando } x=\tan \theta \operatorname{com}-\frac{\pi}{2}< \\\ & \theta<\frac{\pi}{2} \end{aligned}ã

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \sqrt{1+x^{2}}\,dx
usando a substituição \;x=\tan\theta\; com -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}.
Informações dadas e relevantes:
x=\tan\theta,\qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}.
Esse domínio garante que \cos\theta>0 e, portanto, \operatorname{sec}\theta>0. Não faremos nenhuma outra suposição.

Passo 2

Faço a substituição \;x=\tan\theta\;. Primeiro calculo dx em termos de d\theta:
dx = \frac{d}{d\theta}(\tan\theta)\,d\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Também uso a identidade trigonométrica fundamental
1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta,
logo
\sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta,
onde usei que \operatorname{sec}\theta>0 no intervalo dado, então a raiz positiva é \operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituo tudo na integral original. Temos
\int \sqrt{1+x^{2}}\,dx = \int \operatorname{sec}\theta\cdot \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Agora o problema virou calcular \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Vou calcular \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta por integração por partes. Lembro a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho
u=\operatorname{sec}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Então
du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad v=\tan\theta.
Aplicando a fórmula:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta.
Simplifico o integrando:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Uso a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 dentro da integral:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta.
Distribuindo:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Agora isolo \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta somando \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta em ambos os lados:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 6

Preciso agora de \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Faço a técnica clássica de multiplicar por \frac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Seja u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Então
du=(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta,
logo a integral vira
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C.
Portanto
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C.

Passo 7

Volto à expressão obtida no Passo 5:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
Agora faço a substituição de volta para x. Lembre que x=\tan\theta e \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+x^{2}}. Assim
\int \sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2} \sqrt{1+x^{2}}\;x + \frac{1}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr| + C.
Observação: para todo x\in\mathbb{R} temos x+\sqrt{1+x^{2}}>0, então o valor absoluto na prática não altera, mas é costume mantê-lo na forma do logaritmo.

Passo 8

Para ganhar confiança, faço uma verificação rápida derivando a resposta. Seja
F(x)=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^{2}}+\frac{1}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr|.
Derivando (produto, cadeia e regra do logaritmo) obtém-se F'(x)=\sqrt{1+x^{2}}, portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^{2}}+\frac{1}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr|+C

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