Preciso agora de \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Faço a técnica clássica de multiplicar por \frac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
Agora faço a substituição de volta para x. Lembre que x=\tan\theta e \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+x^{2}}. Assim
\int \sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2} \sqrt{1+x^{2}}\;x + \frac{1}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr| + C.
Observação: para todo x\in\mathbb{R} temos x+\sqrt{1+x^{2}}>0, então o valor absoluto na prática não altera, mas é costume mantê-lo na forma do logaritmo.
Passo 8
Para ganhar confiança, faço uma verificação rápida derivando a resposta. Seja