z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o número complexo
z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}.
Informações dadas: o numerador é -3+3i e o denominador é 1+i\sqrt{3}. A pergunta é: qual é o valor de z escrito na forma a+bi (parte real e imaginária)?

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para dividir complexos sem deixar i no denominador, usamos o conjugado do denominador. O conjugado de a+bi é a-bi. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado, o denominador vira um número real, porque
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,
já que i^2=-1. Aqui o objetivo é transformar a divisão em algo da forma \dfrac{\text{complexo}}{\text{real}}, o que permite separar parte real e imaginária facilmente.

Passo 3

O conjugado do denominador 1+i\sqrt{3} é 1-i\sqrt{3}. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\frac{(-3+3 i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}.

Passo 4

Calculemos primeiro o denominador. Usando (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 com a=1 e b=\sqrt{3}, temos
(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})=1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4.

Passo 5

Agora expandimos o numerador usando a distributiva (ou a fórmula (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i). Vou expandir termo a termo:
(-3+3i)(1-i\sqrt{3}) = -3\cdot1 + (-3)\cdot(-i\sqrt{3}) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-i\sqrt{3}).
Calcule cada termo:
-3\cdot1 = -3,
(-3)\cdot(-i\sqrt{3}) = 3i\sqrt{3},
3i\cdot1 = 3i,
3i\cdot(-i\sqrt{3}) = -3i^2\sqrt{3} = -3(-1)\sqrt{3}=3\sqrt{3}.

Passo 6

Some os termos reais e os termos imaginários separadamente. Termos reais: -3 e 3\sqrt{3}; termos imaginários: 3i\sqrt{3} e 3i. Portanto o numerador fica
(-3+3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3}+3)i.
Podemos organizar factorando 3:
(-3+3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3}+3)i = 3(\sqrt{3}-1) + 3(\sqrt{3}+1)i.

Passo 7

Agora dividimos esse numerador real e imaginário pelo denominador 4:
z=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{4} + \frac{3(\sqrt{3}+1)}{4}i.
Fatorando \dfrac{3}{4}, uma forma compacta é
z=\frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}-1\bigr)+i\frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}+1\bigr)=\frac{3}{4}\bigl(\,(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i\,\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{3(\sqrt{3}-1)}{4}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{4}\,i

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