Resolva os sistemas lineares abaixo usando a fatoração de Cholesky:
(a) \left\{\begin{aligned} 16 x_{1}+4 x_{2}+8 x_{3}+4 x_{4} & =32 \\\\ 4 x_{1}+10 x_{2}+8 x_{3}+4 x_{4} & =26 \\\\ 8 x_{1}+8 x_{2}+12 x_{3}+10 x_{4} & =38 \\\\ 4 x_{1}+4 x_{2}+10 x_{3}+12 x_{4} & =30\end{aligned}\right.
(b) \left\{\begin{aligned} 20 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3} & =16 \\\\ 7 x_{1}+30 x_{2}+8 x_{3} & =38 \\\\ 9 x_{1}+8 x_{2}+30 x_{3} & =38\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva dois sistemas lineares usando a fatoração de Cholesky. Vou listar claramente o que é dado em cada item.
Para (a) temos o sistema
\begin{cases} 16x_{1}+4x_{2}+8x_{3}+4x_{4}=32,\\[4pt] 4x_{1}+10x_{2}+8x_{3}+4x_{4}=26,\\[4pt] 8x_{1}+8x_{2}+12x_{3}+10x_{4}=38,\\[4pt] 4x_{1}+4x_{2}+10x_{3}+12x_{4}=30. \end{cases}
Vou chamar a matriz dos coeficientes de A^{(a)}\) e o vetor do lado direito de \(b^{(a)}\): \[A^{(a)}=\begin{pmatrix} 16 & 4 & 8 & 4\\[4pt] 4 & 10 & 8 & 4\\[4pt] 8 & 8 & 12 & 10\\[4pt] 4 & 4 & 10 & 12 \end{pmatrix},\qquad b^{(a)}=\begin{pmatrix}32\\[4pt]26\\[4pt]38\\[4pt]30\end{pmatrix}.
Para (b) temos o sistema
\begin{cases} 20x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=16,\\[4pt] 7x_{1}+30x_{2}+8x_{3}=38,\\[4pt] 9x_{1}+8x_{2}+30x_{3}=38. \end{cases}
Chamo a matriz e o vetor de
A^{(b)}=\begin{pmatrix} 20 & 7 & 9\\[4pt] 7 & 30 & 8\\[4pt] 9 & 8 & 30 \end{pmatrix},\qquad b^{(b)}=\begin{pmatrix}16\\[4pt]38\\[4pt]38\end{pmatrix}.
O que é pedido: encontrar os vetores x\] que satisfazem \(A^{(a)}x=b^{(a)} e A^{(b)}x=b^{(b)} usando a fatoração de Cholesky.]

Passo 2

Breve explicação didática do método de Cholesky (para você aplicar na prova sem pânico):
  • Se A é simétrica e definida positiva, existe uma fatoração única A=LL^{T}, onde L é triangular inferior com entradas l_{ij} ( l_{ij}=0 para i<j).
  • As fórmulas para calcular L são: l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}},\qquad l_{ji}=\frac{1}{l_{ii}}\Big(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{jk}l_{ik}\Big)\quad(j>i).Aqui a_{ij} são os elementos de A, l_{ij} os de L. A ideia é preencher L coluna a coluna.
  • Depois de achar L, resolvemos Ly=b por substituição progressiva (forward substitution) e em seguida L^{T}x=y por substituição regressiva (back substitution). Vou mostrar a fórmula de cada etapa quando usar.
Agora aplico isso ao item (a).

Passo 3

Construção de L para o sistema (a) (vou calcular coluna a coluna, explicando cada conta):
Começo com l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{16}=4.
Agora os elementos da primeira coluna:
l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{4}{4}=1,\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{l_{11}}=\frac{8}{4}=2,\qquad l_{41}=\frac{a_{41}}{l_{11}}=\frac{4}{4}=1.
Segundo pivô diagonal:
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{10-1^{2}}=\sqrt{9}=3.
Agora os elementos da segunda coluna abaixo da diagonal:
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}}=\frac{8-2\cdot1}{3}=\frac{6}{3}=2,
l_{42}=\frac{a_{42}-l_{41}l_{21}}{l_{22}}=\frac{4-1\cdot1}{3}=\frac{3}{3}=1.
Terceiro pivô diagonal:
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}=\sqrt{12-2^{2}-2^{2}}=\sqrt{12-4-4}=\sqrt{4}=2.
Terceira coluna (abaixo da diagonal):
l_{43}=\frac{a_{43}-l_{41}l_{31}-l_{42}l_{32}}{l_{33}} =\frac{10-1\cdot2-1\cdot2}{2}=\frac{10-2-2}{2}=\frac{6}{2}=3.
Quarto pivô diagonal:
l_{44}=\sqrt{a_{44}-l_{41}^{2}-l_{42}^{2}-l_{43}^{2}} =\sqrt{12-1^{2}-1^{2}-3^{2}}=\sqrt{12-1-1-9}=\sqrt{1}=1.
Portanto a fatoração A^{(a)}=L^{(a)}(L^{(a)})^{T} tem
L^{(a)}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolvendo Ly=b para o sistema (a) (substituição progressiva). Fórmula geral para cada i:
y_{i}=\frac{1}{l_{ii}}\Big(b_{i}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}y_{k}\Big).
Calculemos passo a passo com L^{(a)} e b^{(a)}:
i=1:
y_{1}=\frac{b_{1}}{l_{11}}=\frac{32}{4}=8.
i=2:
y_{2}=\frac{b_{2}-l_{21}y_{1}}{l_{22}}=\frac{26-1\cdot8}{3}=\frac{18}{3}=6.
i=3:
y_{3}=\frac{b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}}{l_{33}} =\frac{38-2\cdot8-2\cdot6}{2}=\frac{38-16-12}{2}=\frac{10}{2}=5.
i=4:
y_{4}=\frac{b_{4}-l_{41}y_{1}-l_{42}y_{2}-l_{43}y_{3}}{l_{44}} =\frac{30-1\cdot8-1\cdot6-3\cdot5}{1}=\frac{30-8-6-15}{1}=1.
Assim
y=\begin{pmatrix}8\\[4pt]6\\[4pt]5\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvemos L^{T}x=y por substituição regressiva. Fórmula geral:
x_{i}=\frac{1}{l_{ii}}\Big(y_{i}-\sum_{k=i+1}^{n} l_{k i}x_{k}\Big),
onde observamos que L^{T} tem elementos l_{ki} na posição (i,k).
Começando de i=4 até i=1:
i=4:
x_{4}=\frac{y_{4}}{l_{44}}=\frac{1}{1}=1.
i=3:
x_{3}=\frac{y_{3}-l_{43}x_{4}}{l_{33}}=\frac{5-3\cdot1}{2}=\frac{2}{2}=1.
i=2:
x_{2}=\frac{y_{2}-l_{32}x_{3}-l_{42}x_{4}}{l_{22}} =\frac{6-2\cdot1-1\cdot1}{3}=\frac{3}{3}=1.
i=1:
x_{1}=\frac{y_{1}-l_{21}x_{2}-l_{31}x_{3}-l_{41}x_{4}}{l_{11}} =\frac{8-1\cdot1-2\cdot1-1\cdot1}{4}=\frac{4}{4}=1.
Portanto a solução do item (a) é
x^{(a)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora aplico Cholesky ao item (b). Primeiro explico que a matriz é simétrica e (pela estrutura) definida positiva, então podemos fazer A^{(b)}=L^{(b)}(L^{(b)})^{T}. Vou calcular L^{(b)} coluna a coluna com símbolos quando aparecem raízes, e aproveitar simplificações racionais que evitam carregar raízes até o fim.
Começo com
l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{20}.
Primeira coluna:
l_{21}=\frac{7}{\sqrt{20}},\qquad l_{31}=\frac{9}{\sqrt{20}}.
Segundo pivô:
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{30-\frac{49}{20}}=\sqrt{\frac{551}{20}}.
Elemento l_{32}:
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}} =\frac{8-\dfrac{9\cdot7}{20}}{l_{22}} =\frac{8-\dfrac{63}{20}}{l_{22}}=\frac{\dfrac{160-63}{20}}{l_{22}}=\frac{\tfrac{97}{20}}{l_{22}}.
Terceiro pivô:
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}.
Vou adiantar uma simplificação que vai ajudar: calculando l_{32}^{2} de forma racional e unificando denominadores, encontra-se que
l_{33}^{2}=\frac{13828}{551}.
(Detalhe técnico: essa simplificação vem de transformar l_{32}=\dfrac{97/20}{\sqrt{551/20}} e computar l_{32}^{2} explicitamente; ao combinar com l_{31}^{2}=81/20 e a_{33}=30 obtém-se a fração acima.)
Logo
l_{33}=\sqrt{\frac{13828}{551}}.
Assim a estrutura de L^{(b)} é
L^{(b)}=\begin{pmatrix} \sqrt{20} & 0 & 0\\[6pt] \dfrac{7}{\sqrt{20}} & \sqrt{\dfrac{551}{20}} & 0\\[8pt] \dfrac{9}{\sqrt{20}} & \dfrac{97/20}{\sqrt{551/20}} & \sqrt{\dfrac{13828}{551}} \end{pmatrix}.
Observação: são muitas raízes, mas a boa notícia é que, quando aplicamos as substituições, várias coisas cancelam e aparecem razões racionais simples — por isso vale a pena fazer Cholesky com expressão simbólica e então usar cancelamentos.]

Passo 7

Agora faço a substituição progressiva L^{(b)}y=b^{(b)}, mas mantendo as expressões de modo a evidenciar cancelamentos:
Fórmula y_{1}=\dfrac{b_{1}}{l_{11}}:
y_{1}=\frac{16}{\sqrt{20}}.
Para y_{2}:
y_{2}=\frac{b_{2}-l_{21}y_{1}}{l_{22}} =\frac{38-\dfrac{7}{\sqrt{20}}\cdot\dfrac{16}{\sqrt{20}}}{\sqrt{\tfrac{551}{20}}} =\frac{38-\dfrac{112}{20}}{\sqrt{\tfrac{551}{20}}} =\frac{\dfrac{760-112}{20}}{\sqrt{\tfrac{551}{20}}} =\frac{\tfrac{648}{20}}{\sqrt{\tfrac{551}{20}}}.
Portanto
y_{2}=\frac{648/20}{\sqrt{551/20}}.
Para y_{3} calculamos primeiro l_{31}y_{1} e l_{32}y_{2}. Note que
l_{31}y_{1}=\frac{9}{\sqrt{20}}\cdot\frac{16}{\sqrt{20}}=\frac{144}{20}=\frac{36}{5},
e, usando as expressões de l_{32} e y_{2},
l_{32}y_{2}=\frac{\tfrac{97}{20}}{\sqrt{\tfrac{551}{20}}}\cdot\frac{\tfrac{648}{20}}{\sqrt{\tfrac{551}{20}}} =\frac{\tfrac{97}{20}\cdot\tfrac{648}{20}}{\tfrac{551}{20}} =\frac{97\cdot648}{20\cdot551}.
Agora some l_{31}y_{1}+l_{32}y_{2}. Colocando em denominador comum dá (após simplificar) o valor
l_{31}y_{1}+l_{32}y_{2}=\frac{7110}{551}.
Então
b_{3}-\big(l_{31}y_{1}+l_{32}y_{2}\big)=38-\frac{7110}{551}=\frac{13828}{551}.
Finalmente
y_{3}=\frac{b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}}{l_{33}} =\frac{\tfrac{13828}{551}}{\sqrt{\tfrac{13828}{551}}} =\sqrt{\tfrac{13828}{551}}.
Repare no belo cancelamento: o numerador era precisamente l_{33}^{2}, então y_{3}=l_{33}.

Passo 8

Agora resolvemos L^{(b)T}x=y por substituição regressiva. Como vimos, várias expressões vão simplificar.
Primeiro x_{3}=\dfrac{y_{3}}{l_{33}}=\dfrac{\sqrt{\tfrac{13828}{551}}}{\sqrt{\tfrac{13828}{551}}}=1.
Para x_{2}:
x_{2}=\frac{y_{2}-l_{32}x_{3}}{l_{22}} =\frac{\dfrac{648/20}{\sqrt{551/20}}-\dfrac{97/20}{\sqrt{551/20}}\cdot 1}{\sqrt{551/20}} =\frac{\dfrac{648-97}{20}}{\tfrac{551}{20}} =\frac{\tfrac{551}{20}}{\tfrac{551}{20}}=1.
(Aqui usei que y_{2} e l_{32} têm o mesmo denominador \sqrt{551/20}, o que faz a diferença no numerador virar 551/20, e depois dividir por l_{22}^{2}=551/20.)
Por fim x_{1}:
x_{1}=\frac{y_{1}-l_{21}x_{2}-l_{31}x_{3}}{l_{11}} =\frac{\dfrac{16}{\sqrt{20}}-\dfrac{7}{\sqrt{20}}\cdot1-\dfrac{9}{\sqrt{20}}\cdot1}{\sqrt{20}} =\frac{\dfrac{16-7-9}{\sqrt{20}}}{\sqrt{20}}=\frac{0}{20}=0.
Portanto a solução do item (b) é
x^{(b)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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