O que é pedido: encontrar os vetores x\] que satisfazem \(A^{(a)}x=b^{(a)} e A^{(b)}x=b^{(b)} usando a fatoração de Cholesky.]
Passo 2
Breve explicação didática do método de Cholesky (para você aplicar na prova sem pânico):
Se A é simétrica e definida positiva, existe uma fatoração única A=LL^{T}, onde L é triangular inferior com entradas l_{ij} (l_{ij}=0 para i<j).
As fórmulas para calcular L são:l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}},\qquad l_{ji}=\frac{1}{l_{ii}}\Big(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{jk}l_{ik}\Big)\quad(j>i).Aqui a_{ij} são os elementos de A, l_{ij} os de L. A ideia é preencher L coluna a coluna.
Depois de achar L, resolvemos Ly=b por substituição progressiva (forward substitution) e em seguida L^{T}x=y por substituição regressiva (back substitution). Vou mostrar a fórmula de cada etapa quando usar.
Agora aplico isso ao item (a).
Passo 3
Construção de L para o sistema (a) (vou calcular coluna a coluna, explicando cada conta):
Agora aplico Cholesky ao item (b). Primeiro explico que a matriz é simétrica e (pela estrutura) definida positiva, então podemos fazer A^{(b)}=L^{(b)}(L^{(b)})^{T}. Vou calcular L^{(b)} coluna a coluna com símbolos quando aparecem raízes, e aproveitar simplificações racionais que evitam carregar raízes até o fim.
Vou adiantar uma simplificação que vai ajudar: calculando l_{32}^{2} de forma racional e unificando denominadores, encontra-se que
l_{33}^{2}=\frac{13828}{551}.
(Detalhe técnico: essa simplificação vem de transformar l_{32}=\dfrac{97/20}{\sqrt{551/20}} e computar l_{32}^{2} explicitamente; ao combinar com l_{31}^{2}=81/20 e a_{33}=30 obtém-se a fração acima.)
Observação: são muitas raízes, mas a boa notícia é que, quando aplicamos as substituições, várias coisas cancelam e aparecem razões racionais simples — por isso vale a pena fazer Cholesky com expressão simbólica e então usar cancelamentos.]
Passo 7
Agora faço a substituição progressiva L^{(b)}y=b^{(b)}, mas mantendo as expressões de modo a evidenciar cancelamentos:
(Aqui usei que y_{2} e l_{32} têm o mesmo denominador \sqrt{551/20}, o que faz a diferença no numerador virar 551/20, e depois dividir por l_{22}^{2}=551/20.)