\begin{array}{l} \vec{E}(y, t)=50 \cos \left(2 \pi \cdot 10^{6} t-10^{-3} y\right) a_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m} \\\ \vec{H}(y, t)=1,5 \cos \left(2 \pi \cdot 10^{6} t-10^{-3} y\right) \vec{a} \times \mathrm{A} / \mathrm{m} \end{array}
Quar a densidade da Potencia Média?

Passo 1

O enunciado dá os campos elétrico e magnético dependentes de y e t:
\vec{E}(y,t)=50\cos\!\bigl(2\pi\cdot10^{6}t-10^{-3}y\bigr)\,a_{z}\\ \mathrm{V/m}
\vec{H}(y,t)=1,5\cos\!\bigl(2\pi\cdot10^{6}t-10^{-3}y\bigr)\,\text{(unidade de direção)}\\ \mathrm{A/m}çã
O que o problema pede: calcular a densidade de potência média (ou seja, a componente média do vetor de Poynting).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude do campo elétrico: E_0=50 (peguei do enunciado).
  • Amplitude do campo magnético: H_0=1,5 (peguei do enunciado).
  • Ambos os campos têm a mesma fase \cos\!\bigl(2\pi\cdot10^{6}t-10^{-3}y\bigr), então estão em fase.
  • O termo de fase -10^{-3}y indica propagação ao longo do eixo +y.
  • O campo elétrico está ao longo de a_{z}. Para um modo de onda plano propagando em +y com E em a_{z}, o campo magnético deve estar em a_{x} para que E, H e a direção de propagação sejam mutuamente perpendiculares. Portanto assumo que o vetor unitário do \vec{H} é a_{x} (isto é consistente com as leis das ondas eletromagnéticas).

Passo 2

Definição e ideia física que vamos usar (aula rápida e prática).
  • O vetor de Poynting instantâneo é \vec{S}(y,t)=\vec{E}(y,t)\times\vec{H}(y,t). Ele tem unidades de \mathrm{W/m^2} e indica a densidade de potência instantânea transportada pela onda.
  • A densidade de potência média (no tempo) para uma onda senoidal é o valor médio temporal de \vec{S}(y,t), geralmente denotado por \langle \vec{S}\rangle.
  • Para campos senoidais em fase com amplitudes E_0 e H_0,
\langle \vec{S}\rangle = \frac{1}{2} E_0 H_0 \,\hat{u},
onde \hat{u} é a direção de \vec{E}\times\vec{H}. Vou mostrar por que isso vale explicitamente no próximo passo.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial e da expressão instantânea.
  • Escrevo os campos com amplitudes e direção:
\vec{E}(y,t)=E_0\cos\varphi\,a_{z},\qquad E_0=50,
\vec{H}(y,t)=H_0\cos\varphi\,a_{x},\qquad H_0=1,5,
onde \varphi=2\pi\cdot10^{6}t-10^{-3}y (peguei \varphi do enunciado).
  • O produto vetorial instantâneo é
\vec{S}(y,t)=\vec{E}\times\vec{H}=E_0H_0\cos^{2}\!\varphi\,(a_{z}\times a_{x}).
  • Usando a identidade dos vetores unitários: a_{z}\times a_{x}=a_{y} (regra cíclica), obtemos
\vec{S}(y,t)=E_0H_0\cos^{2}\!\varphi\;a_{y}.

Passo 4

Tempo-média do termo \cos^{2}\varphi e cálculo numérico.
  • Para uma função senoidal, o valor médio temporal de \cos^{2}\varphi é
\left\langle \cos^{2}\varphi \right\rangle = \frac{1}{2}.
(Isto pode ser visto integrando \cos^{2}\varphi num período ou usando a identidade \cos^{2}\varphi=(1+\cos2\varphi)/2.)
  • Portanto a densidade de potência média é
\langle \vec{S}\rangle = E_0H_0\left\langle \cos^{2}\varphi\right\rangle a_{y} = \frac{1}{2}E_0H_0\,a_{y}.
  • Substituindo os valores numéricos (peguei E_0=50 e H_0=1,5 do enunciado):
\langle \vec{S}\rangle = \frac{1}{2}\cdot 50\cdot 1{,}5\;a_{y} =37{,}5\;a_{y}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Interpretação final curta e checagem rápida.
  • O sinal positivo em a_{y} indica que a potência média é transportada no sentido +y, consistente com o termo de fase -10^{-3}y (onda viajando no sentido positivo de y).
  • Observação adicional (útil na prova): se pedissem apenas magnitude, a resposta seria \lvert\langle \vec{S}\rangle\rvert=37{,}5\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

\langle \vec{S}\rangle = 37{,}5\,a_{y}\\ \mathrm{W/m^{2}}

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