(a) Demonstre que a transformada de Fourier de um pulso retangular centrado na origem, com largura \tau e amplitude A é \mathrm{X}(\omega)=2 \mathrm{Asen}(\tau \omega / 2) / \omega. (b) A partir de \mathrm{X}(\omega) determine a transformada de Fourier de um pulso triangular simétrico, centrado em 100 \tau, largura 10 \tau e amplitude 10A. Apresente todos os passos detalhadamente. (DICA: Um pulso triangular pode ser obtido através da convolução de dois pulsos retangulares.)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Pedido (duas partes):
(a) Demonstrar a transformada de Fourier de um pulso retangular centrado na origem, largura \tau e amplitude A, mostrando que
(b) A partir de X(\omega) determinar a transformada de Fourier de um pulso triangular simétrico, centrado em 100\tau, largura 10\tau e amplitude 10A. A dica diz: construir o triângulo por convolução de dois retângulos.
Informações relevantes fornecidas:
Pulso retangular: amplitude A, largura \tau, centrado na origem (ou seja, valor A para |t|\le \tau/2 e zero fora).
Pulso triangular: simétrico, centrado em 100\tau, largura total 10\tau (base), amplitude máxima 10A.
DICA: triângulo obtido por convolução de dois retângulos.
Passo 2
Definição da transformada de Fourier e escrita do pulso retangular (aula rápida).
Fórmula que vamos usar (definição de transformada de Fourier em função angular): para um sinal temporal x(t)\),
\[X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), i é a unidade imaginária.
Especificação do pulso retangular usado: definir explicitamente x(t) do item (a). Vou tomar
x(t)=\begin{cases} A, & |t|\le \dfrac{\tau}{2},\\[6pt] 0, & |t|>\dfrac{\tau}{2}. \end{cases}
Isto é, amplitude A\] em \([-\,\tau/2,\tau/2] e zero fora. (A inclusão/exclusão dos pontos finais não afeta a integral.)]
Passo 3
Cálculo integral passo a passo da transformada do retângulo.
Assim X(0)=2A\cdot(\tau/2)=A\tau, que é a área do pulso retangular (cheque de consistência).
Passo 4
Plano para (b): representar o pulso triangular como convolução e aplicar propriedades de transformada (aula sobre convolução e propriedades).
Propriedade importante (convolução no tempo <-> multiplicação no domínio frequência):
\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=F(\omega)\,G(\omega),
onde (f*g)(t)=\int f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.
Propriedade de deslocamento temporal (time shift): se y(t)=x(t-t_0), então
Y(\omega)=e^{-i\omega t_0}X(\omega).
Isto nos permitirá incorporar o fato do triângulo estar centrado em 100\tau.
Estratégia prática usando a dica:
Construir um triângulo de base T=10\tau e pico 10A como escala multiplicativa de r*r, onde r(t) é um retângulo apropriado (escolher rects de amplitude 1 e largura a para simplificar).
Calcular transformada de r(t) pela fórmula do item (a).
Usar multiplicação de espectros para convulação.
Aplicar deslocamento em frequência para o centro 100\tau.
Simplificar a expressão.
Passo 5
Construção explícita do triângulo por convolução (dimensões e escala).
Queremos um triângulo simétrico com base T=10\tau e pico 10A, centrado em 100\tau. Uma maneira conveniente: tomar dois retângulos idênticos r(t) de amplitude 1 e largura a, e definir o triângulo não deslocado por
\mathrm{tri}_0(t) = \alpha\bigl(r*r\bigr)(t),
onde \alpha é um fator de escala que ajusta a amplitude do triângulo ao valor desejado.
Relação largura-base: a convolução de dois retângulos de largura a gera um triângulo com base 2a. Queremos base 2a=T=10\tau, então
a=\frac{T}{2}=5\tau.
Altura (pico) da convolução sem escala: se r(t) tem amplitude 1 e largura a, então (r*r)(t) tem pico igual a a (explicação rápida: integral do produto em t=0 é \int_{-a/2}^{a/2}1\cdot1\,d\tau=a). Então para obter pico 10A devemos escolher \alpha tal que
\alpha\cdot a = 10A \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{10A}{a}=\frac{10A}{5\tau}=\frac{2A}{\tau}.
Checagem rápida do valor DC (\omega=0) para verificar coerência:
Área do triângulo no tempo = \dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\dfrac{(10\tau)\cdot(10A)}{2}=50A\tau.
Tomar limite \omega\to 0 na expressão encontrada:
\lim_{\omega\to 0}\frac{8A}{\tau}\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{5\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega^2} = \frac{8A}{\tau}\cdot\left(\frac{5\tau}{2}\right)^2 = \frac{8A}{\tau}\cdot\frac{25\tau^2}{4}=50A\tau,que coincide com a área — bom sinal.