1. (a) Demonstre que a transformada de Fourier de um pulso retangular centrado na origem, com largura \tau e amplitude A é \mathrm{X}(\omega)=2 \mathrm{Asen}(\tau \omega / 2) / \omega. (b) A partir de \mathrm{X}(\omega) determine a transformada de Fourier de um pulso triangular simétrico, centrado em 100 \tau, largura 10 \tau e amplitude 10A. Apresente todos os passos detalhadamente. (DICA: Um pulso triangular pode ser obtido através da convolução de dois pulsos retangulares.)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido (duas partes):
    (a) Demonstrar a transformada de Fourier de um pulso retangular centrado na origem, largura \tau e amplitude A, mostrando que
    X(\omega)=\frac{2A\sin\!\bigl(\tfrac{\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega}.
    (b) A partir de X(\omega) determinar a transformada de Fourier de um pulso triangular simétrico, centrado em 100\tau, largura 10\tau e amplitude 10A. A dica diz: construir o triângulo por convolução de dois retângulos.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • Pulso retangular: amplitude A, largura \tau, centrado na origem (ou seja, valor A para |t|\le \tau/2 e zero fora).
    • Pulso triangular: simétrico, centrado em 100\tau, largura total 10\tau (base), amplitude máxima 10A.
    • DICA: triângulo obtido por convolução de dois retângulos.

Passo 2

Definição da transformada de Fourier e escrita do pulso retangular (aula rápida).
  • Fórmula que vamos usar (definição de transformada de Fourier em função angular): para um sinal temporal x(t)\), \[X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), i é a unidade imaginária.
  • Especificação do pulso retangular usado: definir explicitamente x(t) do item (a). Vou tomar
x(t)=\begin{cases} A, & |t|\le \dfrac{\tau}{2},\\[6pt] 0, & |t|>\dfrac{\tau}{2}. \end{cases}
Isto é, amplitude A\] em \([-\,\tau/2,\tau/2] e zero fora. (A inclusão/exclusão dos pontos finais não afeta a integral.)]

Passo 3

Cálculo integral passo a passo da transformada do retângulo.
  • Inserir x(t) na definição:
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-i\omega t}\,dt = \int_{-\tau/2}^{\tau/2} A\,e^{-i\omega t}\,dt,
porque x(t)=0 fora do intervalo [-\,\tau/2,\tau/2].
  • Efetuar a integral (mostrar cada passo):
X(\omega)=A\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-i\omega t}\,dt = A\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{t=-\tau/2}^{t=\tau/2}.
Avaliar os limites:
X(\omega)=A\left(\frac{e^{-i\omega (\tau/2)}-e^{i\omega (\tau/2)}}{-i\omega}\right).
Reconhecer a identidade de Euler para seno: e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta. Reescrevendo o numerador:
e^{-i\omega \tau/2}-e^{i\omega \tau/2} = -\bigl(e^{i\omega \tau/2}-e^{-i\omega \tau/2}\bigr) = -2i\sin\!\bigl(\tfrac{\tau\omega}{2}\bigr).
Substituindo:
X(\omega)=A\left(\frac{-2i\sin\!\bigl(\tfrac{\tau\omega}{2}\bigr)}{-i\omega}\right) = A\left(\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega}\right).
  • Conclusão (parte a): portanto
X(\omega)=\frac{2A\sin\!\bigl(\tfrac{\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega},
que é justamente a forma pedida.
  • Observação sobre \omega=0 (caso singular removível): usar limite
\lim_{\omega\to 0}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega} = \lim_{\omega\to 0}\frac{\tfrac{\tau\omega}{2}+o(\omega)}{\omega}=\frac{\tau}{2}.
Assim X(0)=2A\cdot(\tau/2)=A\tau, que é a área do pulso retangular (cheque de consistência).

Passo 4

Plano para (b): representar o pulso triangular como convolução e aplicar propriedades de transformada (aula sobre convolução e propriedades).
  • Propriedade importante (convolução no tempo <-> multiplicação no domínio frequência):
\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=F(\omega)\,G(\omega),
onde (f*g)(t)=\int f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.
  • Propriedade de deslocamento temporal (time shift): se y(t)=x(t-t_0), então
Y(\omega)=e^{-i\omega t_0}X(\omega).
Isto nos permitirá incorporar o fato do triângulo estar centrado em 100\tau.
  • Estratégia prática usando a dica:
    1. Construir um triângulo de base T=10\tau e pico 10A como escala multiplicativa de r*r, onde r(t) é um retângulo apropriado (escolher rects de amplitude 1 e largura a para simplificar).
    2. Calcular transformada de r(t) pela fórmula do item (a).
    3. Usar multiplicação de espectros para convulação.
    4. Aplicar deslocamento em frequência para o centro 100\tau.
    5. Simplificar a expressão.

Passo 5

Construção explícita do triângulo por convolução (dimensões e escala).
  • Queremos um triângulo simétrico com base T=10\tau e pico 10A, centrado em 100\tau. Uma maneira conveniente: tomar dois retângulos idênticos r(t) de amplitude 1 e largura a, e definir o triângulo não deslocado por
\mathrm{tri}_0(t) = \alpha\bigl(r*r\bigr)(t),
onde \alpha é um fator de escala que ajusta a amplitude do triângulo ao valor desejado.
  • Relação largura-base: a convolução de dois retângulos de largura a gera um triângulo com base 2a. Queremos base 2a=T=10\tau, então
a=\frac{T}{2}=5\tau.
  • Altura (pico) da convolução sem escala: se r(t) tem amplitude 1 e largura a, então (r*r)(t) tem pico igual a a (explicação rápida: integral do produto em t=0 é \int_{-a/2}^{a/2}1\cdot1\,d\tau=a). Então para obter pico 10A devemos escolher \alpha tal que
\alpha\cdot a = 10A \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{10A}{a}=\frac{10A}{5\tau}=\frac{2A}{\tau}.
  • Conclusão: o triângulo não deslocado é
\mathrm{tri}_0(t)=\frac{2A}{\tau}\,\bigl(r*r\bigr)(t),
onde r(t) é o retângulo de amplitude 1 e largura a=5\tau, centrado na origem.

Passo 6

Transformada do retângulo usado e produto de espectros (cálculo).
  • Primeiro, usar o resultado da parte (a) para o retângulo r(t) com amplitude 1 e largura a=5\tau. Pelo item (a) com A=1 e \tau substituído por a,
R(\omega)=\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{a\omega}{2}\bigr)}{\omega}.
  • Agora, como \mathrm{tri}_0(t)=\dfrac{2A}{\tau}\,(r*r)(t), pela propriedade da transformada da convolução (e da linearidade),
\mathcal{F}\{\mathrm{tri}_0\}(\omega)=\frac{2A}{\tau}\,R(\omega)\cdot R(\omega) =\frac{2A}{\tau}\,R(\omega)^2.
  • Substituir R(\omega) e a=5\tau:
\mathcal{F}\{\mathrm{tri}_0\}(\omega)=\frac{2A}{\tau}\left(\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{a\omega}{2}\bigr)}{\omega}\right)^2 =\frac{2A}{\tau}\left(\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{5\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega}\right)^2.
  • Simplificar o quadrado:
\mathcal{F}\{\mathrm{tri}_0\}(\omega)=\frac{2A}{\tau}\cdot\frac{4\sin^2\!\bigl(\tfrac{5\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega^2} =\frac{8A}{\tau}\cdot\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{5\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega^2}.

Passo 7

Incluir o deslocamento temporal (centro em 100\tau) e checagem final.
  • O triângulo pedido é centrado em t_0=100\tau, ou seja \mathrm{tri}(t)=\mathrm{tri}_0(t-100\tau). Aplicando a propriedade de deslocamento temporal:
\mathcal{F}\{\mathrm{tri}\}(\omega)=e^{-i\omega(100\tau)}\mathcal{F}\{\mathrm{tri}_0\}(\omega).
  • Portanto a transformada final é
\boxed{\mathcal{F}\{\mathrm{tri}\}(\omega)=\frac{8A}{\tau}\,\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{5\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega^2}\,e^{-i\omega(100\tau)}.}
  • Checagem rápida do valor DC ( \omega=0) para verificar coerência:
    • Área do triângulo no tempo = \dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\dfrac{(10\tau)\cdot(10A)}{2}=50A\tau.
    • Tomar limite \omega\to 0 na expressão encontrada:
    \lim_{\omega\to 0}\frac{8A}{\tau}\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{5\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega^2} = \frac{8A}{\tau}\cdot\left(\frac{5\tau}{2}\right)^2 = \frac{8A}{\tau}\cdot\frac{25\tau^2}{4}=50A\tau,que coincide com a área — bom sinal.

Resposta

(a) X(\omega)=\frac{2A\sin\!\bigl(\tfrac{\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega}.
(b) \mathcal{F}\{\text{pulso triangular centered at }100\tau\}(\omega) =\frac{8A}{\tau}\,\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{5\tau\omega}{2}\bigr)}{\omega^2}\,e^{-i\omega(100\tau)}.

Exercícios relacionados