Questão 1) O projeto de uma máquina determina o uso de dois ventiladores idênticos, além de um conjunto de resistências elétricas de aquecimento. Tais componentes sempre trabalharão juntos quando a máquina estiver em operação. Cada ventilador será acionado por um motor elétrico de 10 HP ( 1 \mathrm{HP} \approx 746 \mathrm{~W} ) com rendimento de 93,5 \% e FP igual a 0,87 . O conjunto de resistências elétricas dissipará 3 kW no total. Complete o projeto elétrico da máquina determinando a capacitância de um banco de capacitores, a ser associado em paralelo com os motores e o conjunto de resistências, para elevar o FP para 0,95 ind. A tensão eficaz da rede elétrica que alimentará a máquina é 440 V e a frequência é 60 Hz . Qual será a corrente drenada da rede elétrica pela máquina com o FP corrigido? [20 + 10 pts]

Passo 1

O que o problema pede e o que já foi dado (peguei os números do enunciado):
  • Perguntas:
    1. Determinar a capacitância de um banco de capacitores, a ser ligado em paralelo com os dois motores e as resistências, de modo a elevar o fator de potência para 0,95 indutivo.
    2. Calcular a corrente drenada da rede pela máquina com o FP corrigido.
  • Dados fornecidos:
    • Dois motores idênticos, cada um com potência mecânica \,10\\ \mathrm{HP}\, com 1\\ \mathrm{HP}\approx 746\\ \mathrm{W}.
    • Rendimento (eficiência) de cada motor: \eta = 93{,}5\% = 0{,}935.
    • Fator de potência de cada motor: \mathrm{FP}_{\text{motor}} = 0{,}87 (indutivo).
    • Resistências dissipão total: 3\\ \mathrm{kW} (resistivo, PF = 1).
    • Tensão eficaz da rede: 440\\ \mathrm{V} (tensão de linha, sistema trifásico industrial presumido).
    • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Observação importante (assunção): vou assumir que a alimentação é trifásica e que o banco de capacitores será montado em delta (ligação mais comum em correção trifásica industrial). Vou explicar a fórmula e também dar a alternativa caso o banco fosse ligado em estrela (wye).

Passo 2

Converter as potências dos motores para watts e calcular a potência elétrica absorvida por cada motor (já considerando rendimento).
  • Potência mecânica por motor: P_{\text{mec}} = 10\\ \mathrm{HP} = 10\cdot 746 = 7460\\ \mathrm{W}.
  • Potência elétrica absorvida por cada motor (entrada do motor): P_{\text{motor}} = \frac{P_{\text{mec}}}{\eta} = \frac{7460}{0{,}935} \approx 7978,6\\ \mathrm{W}.(isso é a potência ativa elétrica consumida por cada motor).
  • Potência ativa total dos dois motores: P_{\text{motores,tot}} = 2\cdot P_{\text{motor}} = 2\cdot 7978,6 \approx 15\,957,2\\ \mathrm{W}.
  • Potência ativa total da máquina (motores + resistências): P_{\text{tot}} = P_{\text{motores,tot}} + P_{\text{res}} = 15\,957,2 + 3000 = 18\,957,2\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Entender o fator de potência e como obter a reatância necessária. Conceitos essenciais (explicando como usar na hora da prova):
  • Definição: o fator de potência é \mathrm{FP}=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre tensão e corrente. Para cargas indutivas \varphi>0 e há potência reativa indutiva Q>0.
  • Relações úteis: Q = P\tan\varphi, \qquad S = \frac{P}{\mathrm{FP}} = \sqrt{P^2+Q^2},onde P é potência ativa (W), Q potência reativa (VAR) e S potência aparente (VA).
  • Para calcular a reativa associada a um motor com \mathrm{FP}=0{,}87, primeiro obtemos \varphi_{\text{motor}}=\operatorname{arccos}(0{,}87). Não precisa memorizar o ângulo; na prova basta usar a identidade \tan\varphi = \frac{\sqrt{1-\mathrm{FP}^2}}{\mathrm{FP}}.
Cálculo prático:
  • Para cada motor: \tan\varphi_{\text{motor}}=\frac{\sqrt{1-0{,}87^2}}{0{,}87}=\frac{\sqrt{1-0{,}7569}}{0{,}87}=\frac{\sqrt{0{,}2431}}{0{,}87}\approx\frac{0{,}49306}{0{,}87}\approx 0{,}5668.
Q_{\text{motor}} = P_{\text{motor}}\tan\varphi_{\text{motor}}\approx 7978,6\cdot 0{,}5668 \approx 4522,3\\ \mathrm{VAR}.
  • Reativa total dos dois motores: Q_{\text{motores,tot}} = 2\cdot 4522,3 \approx 9044,5\\ \mathrm{VAR}.
  • As resistências não geram reativa, então a reativa total antes da correção é Q_{\text{antes}} = Q_{\text{motores,tot}} \approx 9044,5\\ \mathrm{VAR}.

Passo 4

Calcular a reativa desejada quando o FP for elevado para 0,95.
  • Para \mathrm{FP}_{\text{novo}}=0{,}95 temos \tan\varphi_{\text{novo}}=\frac{\sqrt{1-0{,}95^2}}{0{,}95}=\frac{\sqrt{1-0{,}9025}}{0{,}95}=\frac{\sqrt{0{,}0975}}{0{,}95}\approx\frac{0{,}31225}{0{,}95}\approx 0{,}328684.
  • A reativa líquida que a máquina deve apresentar com o FP corrigido é Q_{\text{novo}} = P_{\text{tot}}\tan\varphi_{\text{novo}} \approx 18\,957,2\cdot 0{,}328684 \approx 6\,230,9\\ \mathrm{VAR}.

Passo 5

Determinar a reativa que o banco de capacitores deve fornecer.
  • O banco capacitivo fornece reativa capacitiva Q_C (valor negativo na convenção de sinais), mas na prática precisamos de um módulo |Q_C| tal que a reativa total passe de Q_{\text{antes}} para Q_{\text{novo}}: Q_{\text{antes}} - |Q_C| = Q_{\text{novo}} \quad\Rightarrow\quad |Q_C| = Q_{\text{antes}} - Q_{\text{novo}}.
  • Numericamente: |Q_C| \approx 9044,5 - 6230,9 \approx 2813,6\\ \mathrm{VAR}.(ou seja, aproximadamente 2{,}814\\ \mathrm{kVAr} de capacitores).

Passo 6

Passar de Q_C para capacitância: fórmulas e escolha da ligação (delta vs estrela).
  • Fórmula básica (para um capacitor sujeito a tensão eficaz V em rad/s \omega):
    Q_C = V^2\omega C \quad\text{(capacitor único sujeito a tensão }V\text{)}.úã
  • No sistema trifásico há dois casos comuns:
    • Banco em delta: cada capacitor fica ligado entre duas fases e vê a tensão de linha V_{LL}. Então a reativa total do banco vale Q_C = 3\,V_{LL}^2\,\omega\,C_{\Delta},onde C_{\Delta} é a capacitância de cada um dos três capacitores (iguais).
    • Banco em estrela (wye): cada capacitor está fase-neutro e vê V_{\text{fase}}=V_{LL}/\sqrt{3}. A reativa total é Q_C = 3\,V_{\text{fase}}^2\,\omega\,C_{Y} = V_{LL}^2\,\omega\,C_{Y}.Note que C_{Y}=3\,C_{\Delta} se quiser comparar.
  • Decisão: vou calcular primeiro para a ligação em delta (mais usada industrialmente). Também dou a equivalência para estrela ao final.
  • Parâmetros numéricos:
    \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 \approx 376{,}9911\\ \mathrm{rad/s},\qquad V_{LL}=440\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Calcular a capacitância para banco em delta.
  • Fórmula para delta: C_{\Delta}=\frac{|Q_C|}{3\,V_{LL}^2\,\omega}.
  • Substituindo números: C_{\Delta} \approx \frac{2813,6}{3\cdot 440^2 \cdot 376{,}9911}.Calcule passo a passo: 440^2 = 193600, \qquad 3\cdot 440^2 = 580800,
3\cdot 440^2\cdot\omega \approx 580800\cdot 376{,}9911 \approx 218\,956\,479.
C_{\Delta} \approx \frac{2813,6}{218\,956\,479}\\ \mathrm{F} \approx 1{,}284\times 10^{-5}\\ \mathrm{F} = 12{,}84\\ \mu\mathrm{F}.
  • Interpretação prática: montar um banco trifásico em delta com três capacitores de aproximadamente 12{,}8\\ \mu\mathrm{F} cada atende a correção pedida.
  • (Alternativa: se o banco fosse em estrela, a capacitância por fase seria)
    C_{Y}=\frac{|Q_C|}{V_{LL}^2\,\omega}\approx 3\cdot C_{\Delta}\approx 38{,}53\\ \mu\mathrm{F}.
    Ou seja, C_{Y}\approx 38{,}5\\ \mu\mathrm{F} por fase em estrela.

Passo 8

Calcular a corrente da rede com o FP corrigido.
  • Uma forma direta: a potência aparente com FP corrigido é S_{\text{novo}}=\frac{P_{\text{tot}}}{\mathrm{FP}_{\text{novo}}}=\frac{18\,957,2}{0{,}95}\approx 19\,955,5\\ \mathrm{VA}.
  • Em sistema trifásico a corrente de linha é I_{\text{linha}}=\frac{S_{\text{novo}}}{\sqrt{3}\,V_{LL}}.
  • Substituindo: I_{\text{linha}}\approx \frac{19\,955,5}{\sqrt{3}\cdot 440}\approx \frac{19\,955,5}{762{,}10}\approx 26{,}18\\ \mathrm{A}.
  • Comentário rápido de ânimo: olha que beleza — o banco de capacitores reduz a componente reativa e faz a corrente total cair para cerca de 26{,}2\\ \mathrm{A} por fase; isso costuma reduzir perdas e demanda reativa cobrada pela concessionária.

Resposta

Capacitância por fase (banco em delta): C_{\Delta} \approx 12{,}84\\ \mu\mathrm{F}
Capacitância por fase (banco em estrela, alternativa): C_{Y} \approx 38{,}53\\ \mu\mathrm{F}
Corrente da rede com FP corrigido: I_{\text{linha}} \approx 26{,}18\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados