f(t)= \begin{cases}e^{3 t}, & t \geq 0, \quad t \neq 5 \\\\ 1, & t=5\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(t)= \begin{cases}e^{3 t}, & t \geq 0,\\ t \neq 5,\\[4pt] 1, & t=5.\end{cases}
Não há uma pergunta explícita no enunciado que você mandou. Vou assumir que a tarefa é calcular a transformada de Laplace de f(t), \mathcal{L}\{f\}(s), que é uma pergunta muito comum para funções definidas por partes como esta. As informações relevantes são:
\text{para todo }t\ge 0\text{ (exceto no ponto }t=5)\text{, }f(t)=e^{3t},
e f(5)=1 é um valor diferente apenas em um único ponto.]

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e como vamos usá‑la (aula rápida):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\, f(t)\,dt.
Aqui s é a variável da transformada (normalmente tomada como real ou complexa) e a integral é imprópria: avaliamos o limite das integrais de 0 até A quando A\to\infty. Para existir a transformada precisamos que essa integral convirja (seja finita) para algum conjunto de valores de s — esse conjunto é a região de convergência. Uma fórmula útil que usaremos várias vezes é
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}\quad\text{se }a>0,
porque
\int_{0}^{A} e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_0^A=\frac{1}{a}\big(1-e^{-aA}\big)
e ao fazer A\to\infty obtemos 1/a quando a>0.
Importante e prático: mudar o valor da função em um único ponto (como t=5) não altera o valor da integral de Riemann/improper integral que define a transformada — pontos isolados têm medida zero. Assim, para calcular a transformada podemos ignorar o valor em t=5 e tratar f(t)=e^{3t} para t\ge0.

Passo 3

Montando a integral da transformada usando que f(t)=e^{3t} quase em todo lugar:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\, f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\, e^{3t}\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(s-3)t}\,dt.
Aqui substituí f(t) por e^{3t} porque, conforme explicado, a alteração em t=5 não muda a integral.

Passo 4

Verificamos a convergência dessa integral. Escrevemos a integral como limite:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-3)t}\,dt=\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} e^{-(s-3)t}\,dt.
Calcule a integral propriamente dita (caso básico de exponencial):
\int_{0}^{A} e^{-(s-3)t}\,dt =\left[-\frac{1}{s-3}e^{-(s-3)t}\right]_0^{A} =\frac{1}{s-3}\big(1-e^{-(s-3)A}\big),
desde que s-3\neq 0. Agora tomamos A\to\infty. Para que e^{-(s-3)A}\to 0 quando A\to\infty é necessário que a parte real de s-3 seja positiva; no caso real isso significa s-3>0, ou seja s>3. Portanto:
  • Se s>3, então e^{-(s-3)A}\to 0 e a integral converge para \dfrac{1}{s-3}.
  • Se s=3, o integrando é 1 e a integral diverge (vai para \infty).
  • Se s<3, o integrando cresce exponencialmente e a integral também diverge.

Passo 5

Concluindo o cálculo: para s>3 temos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s-3}.
Reafirmando: o valor especial f(5)=1 não alterou o resultado — a transformada é a mesma que se tivéssemos f(t)=e^{3t} para todo t\ge0. A região de convergência (para s reais) é s>3.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s-3},\quad s>3

Exercícios relacionados