f(t)= \begin{cases}e^{3 t}, & t \geq 0, \quad t \neq 5 \\\\ 1, & t=5\end{cases}
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
f(t)= \begin{cases}e^{3 t}, & t \geq 0,\\ t \neq 5,\\[4pt] 1, & t=5.\end{cases}
Não há uma pergunta explícita no enunciado que você mandou. Vou assumir que a tarefa é calcular a transformada de Laplace de f(t), \mathcal{L}\{f\}(s), que é uma pergunta muito comum para funções definidas por partes como esta. As informações relevantes são:
\text{para todo }t\ge 0\text{ (exceto no ponto }t=5)\text{, }f(t)=e^{3t},
e f(5)=1 é um valor diferente apenas em um único ponto.]
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e como vamos usá‑la (aula rápida):
Aqui s é a variável da transformada (normalmente tomada como real ou complexa) e a integral é imprópria: avaliamos o limite das integrais de 0 até A quando A\to\infty. Para existir a transformada precisamos que essa integral convirja (seja finita) para algum conjunto de valores de s — esse conjunto é a região de convergência. Uma fórmula útil que usaremos várias vezes é
Importante e prático: mudar o valor da função em um único ponto (como t=5) não altera o valor da integral de Riemann/improper integral que define a transformada — pontos isolados têm medida zero. Assim, para calcular a transformada podemos ignorar o valor em t=5 e tratar f(t)=e^{3t} para t\ge0.
Passo 3
Montando a integral da transformada usando que f(t)=e^{3t} quase em todo lugar:
desde que s-3\neq 0. Agora tomamos A\to\infty. Para que e^{-(s-3)A}\to 0 quando A\to\infty é necessário que a parte real de s-3 seja positiva; no caso real isso significa s-3>0, ou seja s>3. Portanto:
Se s>3, então e^{-(s-3)A}\to 0 e a integral converge para \dfrac{1}{s-3}.
Se s=3, o integrando é 1 e a integral diverge (vai para \infty).
Se s<3, o integrando cresce exponencialmente e a integral também diverge.
Passo 5
Concluindo o cálculo: para s>3 temos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s-3}.
Reafirmando: o valor especial f(5)=1 não alterou o resultado — a transformada é a mesma que se tivéssemos f(t)=e^{3t} para todo t\ge0. A região de convergência (para s reais) é s>3.