Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4 s+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de \displaystyle \frac{1}{4s+1}.
Informações dadas: a expressão algébrica \displaystyle \frac{1}{4s+1}.
Objetivo: encontrar a função de t (para t\ge 0) cuja transformada de Laplace é essa expressão.

Passo 2

Vamos manipular a expressão para colocá‑la numa forma que reconhecemos facilmente. Factorizamos 4 no denominador:
\frac{1}{4s+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}.
Aqui só fizemos uma álgebra simples: dividimos numerador e denominador por 4.

Passo 3

Agora lembramos do resultado básico (Teorema 7.3, primeira propriedade de deslocamento no domínio de s / tabela padrão):
\mathscr{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a},
válido para \Re(s)>-a. Explicando: \mathscr{L}\{\cdot\} é a transformada de Laplace, t é a variável de tempo ( t\ge 0), s é a variável complexa da transformada, e a é uma constante. A demonstração rápida é
\mathscr{L}\{e^{-a t}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s+a)t}}{-(s+a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+a}.

Passo 4

Na nossa forma \displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}} reconhecemos \displaystyle \frac{1}{s+\tfrac{1}{4}} como a transformada de \displaystyle e^{-(1/4)t}. Pela linearidade da transformada inversa:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}\right\}=\frac{1}{4}\,e^{-\tfrac{1}{4}t}.
Portanto a função no tempo é \displaystyle \frac{1}{4}e^{-t/4} para t\ge 0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}e^{-t/4}

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