f(t)= \begin{cases}1, & t \geq 0, \quad t \neq 1, \quad t \neq 2 \\\\ 3, & t=1 \\\\ 4, & t=2\end{cases}

Passo 1

Você me deu a função
f(t)= \begin{cases}1, & t \geq 0,\; t \neq 1,\; t \neq 2 \\[4pt] 3, & t=1 \\[4pt] 4, & t=2\end{cases}
O enunciado não traz uma pergunta explícita, então vou resolver e explicar passo a passo as questões que costumam ser pedidas para uma função desse tipo (essas são as coisas úteis para prova): calcular os limites quando t\to1 e t\to2; determinar onde f é contínua e onde é descontínua (e que tipo de descontinuidade); discutir integrabilidade (Riemann) e o efeito de alterar valores em pontos isolados; e, como bônus útil em exatas, calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f\}(s). Vou tratar cada tópico com calma, mostrando as ideias e fórmulas usadas.]

Passo 2

Limites em t=1 e t=2.
Explicação do conceito rápido: dizer que \lim_{t\to a} f(t)=L significa que quando t se aproxima de a (por valores diferentes de a) os valores f(t) se aproximam de L. Se, nas proximidades de a, a função toma sempre o mesmo valor (exceto possivelmente no próprio ponto), o limite é esse valor.
Aqui, para qualquer t próximo de 1 mas com t\neq1 e t\neq2, a definição dá f(t)=1. Logo, seguindo a definição:
\lim_{t\to 1} f(t)=1.
Mesmo raciocínio para t\to2: perto de 2, para t\neq1,2 temos f(t)=1. Portanto
\lim_{t\to 2} f(t)=1.
Observação técnica: usamos que o valor da função exatamente em t=1 ou t=2 não importa para o limite — o limite olha apenas valores em pontos distintos do próprio ponto.

Passo 3

Continuidade e tipo de descontinuidade em t=1 e t=2.
Definição rápida de continuidade num ponto a: f é contínua em a se \lim_{t\to a} f(t)=f(a). Se o limite existe mas é diferente de f(a), a descontinuidade é chamada removível (porque dá para “remover” a descontinuidade redefinindo f(a) igual ao limite). Se o limite não existe (ou os limites laterais não coincidem), é outro tipo (salto, essencial, etc.).
Aplicando ao nosso caso:
  • Calculamos \lim_{t\to1} f(t)=1 e sabemos f(1)=3. Como 1 \neq 3, f é descontínua em t=1. O limite existe, então a descontinuidade em t=1 é removível — basta redefinir f(1)=1 para tornar a função contínua ali.
  • Calculamos \lim_{t\to2} f(t)=1 e f(2)=4. Como 1 \neq 4, f é descontínua em t=2. Novamente a descontinuidade é removível (basta redefinir f(2)=1).
Em qualquer outro ponto a\ge 0 com a\neq1,2 temos f constante igual a 1 numa vizinhança de a, logo \lim_{t\to a} f(t)=1=f(a) e a função é contínua nesses pontos. Para t<0 a função não foi definida no enunciado; percebi que a definição começa em t\ge0, então estamos tratando de domínio [0,\infty).
Resumo: f é contínua em todo t\ge0 exceto em t=1 e t=2; em t=1,2 tem descontinuidade removível.

Passo 4

Riemann integrabilidade e o efeito de mudar valores em pontos isolados.
Conceito e teorema usados (explicado): uma função limitada em um intervalo fechado [a,b] é Riemann integrável se o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero (intuindo: pode ser coberto por intervalos de comprimento total arbitrariamente pequeno). Em particular, um conjunto finito (ex.: \{1,2\}) tem medida zero. Portanto qualquer função que difere de uma função contínua apenas em um número finito de pontos é Riemann integrável.
No nosso caso, em qualquer intervalo [a,b]\subset[0,\infty) a função f é limitada (vale 1,3 ou 4) e tem descontinuidades apenas nos pontos 1 e 2 (no máximo dois pontos). Como um conjunto finito tem medida zero, f é Riemann integrável em qualquer [a,b]\subset[0,\infty).
Efeito prático: valores tomados em um número finito de pontos não alteram a integral (Riemann). Assim, para calcular \int_{a}^{b} f(t)\,dt podemos ignorar os valores em t=1 e t=2 (se estiverem dentro do intervalo), e integrar a função que vale 1 em todo lugar.
Demonstração simples do fato “pontos isolados não mudam a integral”: para cada ponto problemático podemos rodeá‑lo por um pequeno intervalo cujo comprimento total seja arbitrariamente pequeno; como a função é limitada, a contribuição máxima desses pequenos intervalos é limitada por (máximo da função)×(soma dos comprimentos), que pode ser tornada <ε. Fora desses intervalos a função é contínua e integrável; assim a integral não muda se alterarmos o valor apenas nesses pontos.

Passo 5

Cálculo explícito de integrais (exemplos práticos).
Pelo raciocínio anterior, para quaisquer a,b tais que 0\le a<b,
\int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b 1\,dt = b-a,
porque os pontos isolados t=1 e t=2 não contribuem para o valor da integral.
Exemplo numérico: \displaystyle \int_0^3 f(t)\,dt = 3-0 = 3.

Passo 6

Transformada de Laplace \mathcal{L}\{f\}(s).
Definição usada: para uma função g definida em [0,\infty), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_0^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
quando a integral converge (por exemplo para \Re(s)>0 se g é limitada).
No nosso caso, novamente os valores em pontos isolados t=1,2 não alteram o valor da integral imprópria (porque mudar a função em pontos isolados não altera o valor da integral de Lebesgue nem a integral impropria de Riemann). Assim
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_0^{\infty} 1\cdot e^{-s t}\,dt,
para os s em que essa integral converge. Calculamos:
\int_0^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{1}{s} e^{-s t}\right]_{t=0}^{t=\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{s}\right) = \frac{1}{s},
desde que \Re(s)>0 (para garantir que e^{-s t}\to0 quando t\to\infty). Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \Re(s)>0.

Passo 7

Recapitulando a intuição importante para a prova (dicas rápidas):
  • Pontos isolados onde a função assume valores diferentes (como t=1,2) não alteram limites à volta (o limite olha para t\neq ponto) nem integrals Riemann/Laplace.
  • Se o limite existe mas é diferente do valor no ponto, a descontinuidade é removível.
  • Para transformada de Laplace e integrais, você pode normalmente substituir a função pelos seus valores “quase todos” (exceto em um conjunto de medida zero) sem alterar o resultado.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to1} f(t)=1
\displaystyle \lim_{t\to2} f(t)=1
f é contínua para todo t\ge0 com t\neq1,2; f é descontínua em t=1 e em t=2 (descontinuidades removíveis).
f é Riemann integrável em qualquer [a,b]\subset[0,\infty) e \displaystyle \int_a^b f(t)\,dt = b-a.
\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s}, para \Re(s)>0.

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