O que a questão pede: determinar se a função é contínua em x=1 e justificar a resposta.]
Passo 2
Definição prática de continuidade em um ponto: a função f é contínua em x=1 se, e somente se,
o limite à esquerda em x=1 existe e é finito, isto é \lim_{x\to 1^-}f(x) existe;
o limite à direita em x=1 existe e é finito, isto é \lim_{x\to 1^+}f(x) existe;
os dois limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em x=1, ou seja
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)=f(1).
Explicando rápido: como a função é dada por duas expressões, uma para x<1 e outra para x\ge 1, precisamos calcular cada limite lateral usando a expressão correspondente e também calcular f(1) usando a expressão válida em x=1.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 1^-}f(x).
Para x<1 a função é f(x)=2x. Como 2x é uma função linear (e funções lineares são contínuas em todo ponto), o limite ao nos aproximarmos de 1 pela esquerda é obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}2x=2\cdot 1=2.
Passo 4
Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 1^+}f(x).
Para x\ge 1 a função é f(x)=x+1. Essa também é uma função linear, então ao nos aproximarmos de 1 pela direita:
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=1+1=2.
Passo 5
Calcular o valor da função em x=1, isto é f(1).
Como a definição da função usa a expressão x+1 quando x\ge 1, avaliamos essa expressão em x=1: