f(x)= \begin{cases}x+1, & \text { se } x \geq 1 \\\\ 2 x, & \text { se } x<1\end{cases}
A função é contínua em x=1 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x+1, & \text{se } x\geq 1,\\[4pt] 2x, & \text{se } x<1. \end{cases}
O que a questão pede: determinar se a função é contínua em x=1 e justificar a resposta.]

Passo 2

Definição prática de continuidade em um ponto: a função f é contínua em x=1 se, e somente se,
  1. o limite à esquerda em x=1 existe e é finito, isto é \lim_{x\to 1^-}f(x) existe;
  2. o limite à direita em x=1 existe e é finito, isto é \lim_{x\to 1^+}f(x) existe;
  3. os dois limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em x=1, ou seja
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)=f(1).
Explicando rápido: como a função é dada por duas expressões, uma para x<1 e outra para x\ge 1, precisamos calcular cada limite lateral usando a expressão correspondente e também calcular f(1) usando a expressão válida em x=1.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 1^-}f(x).
Para x<1 a função é f(x)=2x. Como 2x é uma função linear (e funções lineares são contínuas em todo ponto), o limite ao nos aproximarmos de 1 pela esquerda é obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}2x=2\cdot 1=2.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 1^+}f(x).
Para x\ge 1 a função é f(x)=x+1. Essa também é uma função linear, então ao nos aproximarmos de 1 pela direita:
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=1+1=2.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=1, isto é f(1).
Como a definição da função usa a expressão x+1 quando x\ge 1, avaliamos essa expressão em x=1:
f(1)=1+1=2.

Passo 6

Comparar limites e valor: obtivemos
\lim_{x\to 1^-}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=2,\qquad f(1)=2.
Todos são iguais, portanto a condição de continuidade em x=1 está satisfeita. Conclusão: a função é contínua em x=1.

Resposta

Sim, a função é contínua em x=1.

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