A variável x se aproxima de 0 pela direita (ou seja, x>0 e x\to0).
A expressão a ser estudada é \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}.
A tarefa é determinar o comportamento (um número finito, +\infty, -\infty ou inexistência) desse quociente quando x\to0^{+}.
Passo 2
Faço uma fatoração útil do denominador para simplificar a análise:
x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).
Assim podemos reescrever a função como produto de fatores:
Esta forma é conveniente porque um dos fatores, \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}, tem um limite clássico conhecido quando x\to0.
Passo 3
Vou usar o limite fundamental
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Explicação didática desse fato (rápida): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade \cos x \le \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1. Como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Portanto, ao aproximar x de 0,
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\longrightarrow 1.
Passo 4
Agora analiso o segundo fator \dfrac{1}{x(x-1)} quando x\to0^{+}.
Primeiro veja o sinal do denominador para x pequeno e positivo: para 0<x<1 tem x>0 e x-1<0, logo x(x-1)<0. Portanto \dfrac{1}{x(x-1)} é negativo para x em (0,1).
Quanto ao módulo, para 0<x<\tfrac{1}{2} tem 1-x>\tfrac{1}{2}, então
Em qualquer caso, à medida que x\to0^{+} o termo \dfrac{1}{x(x-1)} tem módulo que cresce como 1/x e portanto diverge em módulo para +\infty; como o sinal é negativo, \dfrac{1}{x(x-1)}\to -\infty quando x\to0^{+}.
Passo 5
Combino os dois fatores usando propriedade de limites: se \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\to1 (um limite finito e não nulo) e \dfrac{1}{x(x-1)}\to -\infty, então o produto tende a -\infty. Mais formalmente,