Calcule os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular, quando existir, o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}.
Informações do problema:
  • A variável x se aproxima de 0 pela direita (ou seja, x>0 e x\to0).
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}.
    A tarefa é determinar o comportamento (um número finito, +\infty, -\infty ou inexistência) desse quociente quando x\to0^{+}.

Passo 2

Faço uma fatoração útil do denominador para simplificar a análise:
x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).
Assim podemos reescrever a função como produto de fatores:
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x(x-1)}.
Esta forma é conveniente porque um dos fatores, \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}, tem um limite clássico conhecido quando x\to0.

Passo 3

Vou usar o limite fundamental
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Explicação didática desse fato (rápida): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade \cos x \le \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1. Como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Portanto, ao aproximar x de 0,
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\longrightarrow 1.

Passo 4

Agora analiso o segundo fator \dfrac{1}{x(x-1)} quando x\to0^{+}.
Primeiro veja o sinal do denominador para x pequeno e positivo: para 0<x<1 tem x>0 e x-1<0, logo x(x-1)<0. Portanto \dfrac{1}{x(x-1)} é negativo para x em (0,1).
Quanto ao módulo, para 0<x<\tfrac{1}{2} tem 1-x>\tfrac{1}{2}, então
|x(x-1)|=x(1-x)>\frac{x}{2}.
Isto implica
\left|\frac{1}{x(x-1)}\right|=\frac{1}{x(1-x)}<\frac{2}{x}.
Mas também, já que 1-x<1, tem x(1-x)<x e então
\left|\frac{1}{x(x-1)}\right|=\frac{1}{x(1-x)}>\frac{1}{x}.
Em qualquer caso, à medida que x\to0^{+} o termo \dfrac{1}{x(x-1)} tem módulo que cresce como 1/x e portanto diverge em módulo para +\infty; como o sinal é negativo, \dfrac{1}{x(x-1)}\to -\infty quando x\to0^{+}.

Passo 5

Combino os dois fatores usando propriedade de limites: se \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\to1 (um limite finito e não nulo) e \dfrac{1}{x(x-1)}\to -\infty, então o produto tende a -\infty. Mais formalmente,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}} =\lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x(x-1)}\right) =\left(\lim_{x\to0^{+}}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x(x-1)}\right) =1\cdot(-\infty)=-\infty.

Resposta

-\infty

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