Calcule os limites, de acordo com o Teorema do Confronto: \lim _{x \rightarrow \infty} 2^{-x} \cos \left(e^{x}\right)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty} 2^{-x}\cos\!\big(e^{x}\big).
Informações dadas:
A função é f(x)=2^{-x}\cos\!\big(e^{x}\big).
A variável tende para +\infty.
Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Vamos apresentar a ferramenta que vamos usar (explicação didática do teorema do confronto, também chamado de teorema do sanduíche): se tivermos três funções g(x), f(x) e h(x) tais que, para todo x suficientemente próximo do ponto considerado,
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Ou seja, se f fica “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite L, então f também tem limite L. Importante: as desigualdades devem valer em um intervalo onde as funções estão definidas e os limites de g e h existem e são iguais.
Passo 3
Uma propriedade básica da função cosseno é que, para qualquer argumento real t,
-1\le \cos(t)\le 1.
Aqui o argumento é t=e^{x}, mas isso não importa: continua valendo
-1\le \cos\!\big(e^{x}\big)\le 1
para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 4
Observe que 2^{-x}>0 para todo x. Como multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva o sentido, multiplicando a desigualdade do passo anterior por 2^{-x} obtemos
-2^{-x}\le 2^{-x}\cos\!\big(e^{x}\big)\le 2^{-x}.
Portanto a função que queremos está “espremida” entre -2^{-x} e 2^{-x}.
Passo 5
Calculemos os limites das funções que servem de bounds. Note que
2^{-x}=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{x}.
Como 0<\dfrac{1}{2}<1, a potência \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{x} tende a 0 quando x\to\infty. Logo
e como \lim_{x\to\infty}2^{-x}=0, pelo fato de que o módulo tende a 0 temos novamente que o limite da função é 0. Isso às vezes é a maneira mais direta de aplicar o teorema do confronto.